7.37. Показати, що при $ x \ rightarrow 0, $ $ y \ rightarrow 0 $ функція $ z = \ frac $ може прагнути до будь-якого межі. Привести приклади такого наближення точки $ x, y $ до точки $ (0, 0) $ при якому $ \ lim z = 3, \ lim z = 2, \ lim z = -2. $
Для будь-якої межі $ A $ можна вибрати часткову послідовність точок $ \, \ frac) \> $ сходиться до точки $ (0, 0) $ при $ k \ rightarrow \ infty. $ Тоді $$ z (M_k) = \ frac> - \ frac> = A. $$
Відповідь: Функція може прагнути до будь-якого межі.
Оскільки повторні межі різні, то границі функції $ \ lim \ limits_f (x, y) $ не існує.
Відповідь: Межа не існує.
7.40. З'ясувати, чи має функція $ \ sin \ ln (x ^ 4 + y ^ 2) $ межа при $ x \ rightarrow 0, y \ rightarrow 0? $
Відповідь: Функція не має меж.
7.39. Показати, що для функції $ f (x, y) = \ frac $ існують і рівні між собою повторні межі $$ \ lim \ limits_ \ left (\ lim \ limits_ f (x, y) \ right), \, \, \ lim \ limits_ \ left (\ lim \ limits_ f (x, y) \ right), $$ тим не менше $ \ lim \ limits_ $ не існує.
7.41. З'ясувати, чи має функція $ \ frac $ межа при $ x \ rightarrow \ infty, y \ rightarrow \ infty? $