Завдання 1. Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють а і b. На його гіпотенузі поза трикутником побудований квадрат. Довести, що відстань від вершини прямого кута до центру цього квадрата дорівнює.
Введемо систему координат. Виберемо вершину прямого кута в якості початку координат, а осі направимо уздовж катетів трикутника (рис. 14).
Центр квадрата АКТВ - середина його діагоналі AT. Точка А має координати А (0; b). Щоб знайти координати точки Т, проведемо TD ⊥ Cx і порівняємо прямокутні трикутники BDT і ВСА. Вони рівні за гіпотенузі і гострому куту (АВ = ВТ як сторони квадрата, a ∠TBD = 180 ° - - 90 ° = 90 ° - = # 8710; BAC). Тоді BD = АС = b, TD = BC = a. Значить, координати точки Т будуть Т (а + b; а). М - середина відрізка АТ, тому
=;
=.
Початок координат має координати С (0; 0), тоді CM = =.
Завдання 2. Довести, що один з внутрішніх кутів трикутника ABC тупий, якщо А (3; 5; 3), Б (2; -1; 4) і С (0; -2; 1).
Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою відстані між двома точками: d =.
Розглянемо співвідношення між числами, що виражають квадрати сторін даного трикутника: 38 + 14 = 52, 62> 52, т. Е..
Отже, сторона АС лежить проти тупого кута В.