1В) Рис. 11. самоподобна аттрактора енона. (А) Аттрактор цілком. 1Б) Збільшення частини аттрактора, виділеної квадратом на рнс. 1А). 1В) Ще одне збільшення. Отмехьхе схожість щхркхових візерунків на рис. (Б) і 1В), що підтверджує самоподобна аттрактора енона) бб). кішка Арнольда
Серед двовимірних відображень то складно обминути зберігає площа відображення чкошка Арнольда », яке описує Гамільтона нелінійні системи:
а "Ьт = х" - '; - ук ЮОг) 1,
У Ьт = а "-, ь 2уо той) 1, зображене на рис. 12А і 12Б. Запис гпог) 1, як і раніше, означає, що розглядаються тільки дроби з напіввідкритого одиничного інтервалу) О, 1). Спотворення картинки, що породжується цим перетворенням, нагадує про погано відрегульована телевізорі. Відображення чкошка Арнольда »має два власних значення ЛТ і Лз, які, відповідно, рівні квадрату величини, зворотної золотого перетину), і числа, зворотному цього квадрату: ЛТ = (3-ь ь'б) / 2> 1 і Лз = ЛТТ = (3 - ь'б) / 2 (1. оскільки одне власне значення більше одиниці, а інше менше, то все нерухомі точки відображення є гіперболічними. Це означає, що кішка Арнольда розтягує по одному напрямку (відповідному своїм значенням ЛТ) і стискає по іншому, перпендикулярному першому, напрямку 1соответствующему значенням Лз). Таким чином, нерухомі точки відображення не є ні репеллерамі, ні аттракторами, а й тими і іншими, в залежності від напрямку, по якому ми до них наближаємося. З точки зору геометрії гіперболічні нерухомі точки являють собою седлоаме точки: м'яч котиться з гори у напрямку до седловой точці 1горному перевалу), а потім
рухається від сідлової точки до долини. Перевал спочатку прігяягіаает,
а потім відштовхує який падає з гір у напрямку до нього
потік води, тобто спочатку виступає в ролі аттрактора, а потім репел-
РНС. 12. (А) Кішка Арнольда; (Б) ітернрованное відображення. тобто вона належить орбіті з довжиною періоду 2. Ця точка переходить в точку (0,6; 0,8), яка, в свою чергу, відображається в вихідну точку (0,4; 0,2). Перетворення вихідної точки 10,4; 0,2) в напрямку, відповідному своїм значенням Лг (Ьк / Ьу = - (ь'б -з 1) / 2 = - 1 /.)), Є стискає. Дійсно, перші парні ітерації кг "початкової точки (до = 0,4 -
- -з 1/100), уо = 0,2 - 1/100), починаючи з кз, мають такі наближені значення: 0,402; 0,4003; 0,40005; 0,400007; 0,400001; 0,4000002.
