Якоб Бернуллі

Чому черепашка наутилус має цей дивний і елегантний вигляд?

Початок дослідження цієї спіралі має бути пов'язано з навігацією. Протягом XVI і XVII століть тисячі судів борознили океани. Мореплавці знали, що на поверхні Землі найкоротша відстань між двома точками дає дуга окружності. Але щоб рухатися по такій дузі слід безперервно змінювати напрямок руху. Тому цей оптимальний курс замінювали іншим, таким, щоб кут, під яким корабель перетинав всі меридіани, був постійним. Цей курс залишався незмінним. Траєкторії такого виду утворюють на земній поверхні криві, які називаються локсодромії. Однак моряки не працювали на сфері, їх карти були плоскими, вони представляли собою проекції сфери. Ну а проекція сфери на площину перетворює локсодрому на ній в ... логарифмічну (або Рівнокутні) спіраль.

Першим, хто описав її як механічну криву, на відміну від кривих алгебраїчних, був Декарт, який в 1638 р написав ченцеві Мерсенну про результати своїх досліджень. Декарт шукав зростаючу криву, що володіє властивістю, подібним властивості окружності, так щоб дотична в кожній точці утворювала з радіус-вектором в кожній точці завжди один і той же кут. Звідси і назва рівнокутна. Він також показав, що ця умова рівнозначно тому, що полярні кути для точок кривої пропорційні логарифмам радіус-векторів. Звідси і друга назва: логарифмічна спіраль. Відстань між витками зростає зі збільшенням кута, т. Е. Радіус-вектор збільшується експоненціального зі збільшенням кута повороту. Так що третя назва цієї кривої - геометрична спіраль.

Батьком цієї спіралі, по всій справедливості, є Якоб Бернуллі, який її повністю вивчив і якого вона настільки заворожила, що він просив зобразити її на його могилі на кладовищі в Базелі з написом "Eadem mutata resurgo '' (" Змінена, я знову воскрею ' ').
Каменяр не був добрим математиком. і він вирізав на камені практично ідеальну архимедову спіраль.

Якоб Бернуллі виявив деякі властивості цієї кривої, які залишилися не поміченими
Декартом і Торрічеллі, в тому числі той факт, що логарифмічна спіраль - єдина крива, еволюта, евольвента, каустика і Подера якої також є, в свою чергу, логарифмічними спіралями. Якоб Бернуллі виявив ще одну незвичайну особливість,
самоподоба, яка прямо пов'язує цю спіраль з фракталами.

Логарифмічна спіраль, безсумнівно, є спіраллю, яка найбільш часто зустрічається в природі. Царство тварин надає нам приклади спіралей раковин равликів і молюсків. Всі ці форми вказують на природне явище: процес накручування пов'язаний з процесом зростання. Справді, раковина равлики - це не більше, не менше, ніж конус, накручений на себе. Рогу жуйних тварин теж, але вони до того ж кручені. І хоча фізичні закони зростання у різних видів різні, математичні закони, які управляють ними, однакові: всі вони мають в основі геометричну спіраль, самоподобна криву. Якщо ми уважно подивимося на зростання раковин і рогів, то зауважимо ще одна цікава властивість: зростання відбувається тільки на одному кінці. І це властивість зберігає форму повністю унікальну серед кривих в математиці, форму логарифмічною, або рівнокутної спіралі.

1 Слободянюк В.К .:

Логарифмічна спіраль зустрічається і в гірничій справі.
План траси спіральної форми є логарифмічною спіраллю.
У деяких підручниках по відкритій розробці є помилка, коли трасу зображують не логарифмічною спіраллю, а вигляді Архімедова спіралі (точно, так як на могилі Бернули).
Я привожу посилання на статтю, в якій на основі властивостей просторової логарифмічною спіралі ми досліджували вплив параметрів траси на обсяг гірничо-капітальних робіт.

2 Єлизавета Олександрівна Калініна:

Спасибі, це дійсно цікаво і чудово!

4 Єлизавета Олександрівна Калініна:

Максим, дякую Вам за цікаве і корисне доповнення!

Залиште свій відгук