Вертикальні кути - два кути, у яких сторони одного є продовженнями сторін іншого. Вертикальні кути рівні. (Вертикальними називаються кути, утворені пересічними прямими і не є прилеглими один до одного, тобто загальної боку у них немає, але вертикальні кути мають вершину в одній точці. Вертикальні кути рівні між собою).
22. Які прямі називаються перпендикулярними? Дві пересічні прямі називаютсяперпендікулярнимі (або взаємно перпендикулярними), якщо вони утворюють чотири прямих кута. Або Перпендикулярні прямі це прямі перетинаються під кутом 90 градусів. Або Дві прямі, що утворюють при перетині прямі кути, називають перпендикулярними.
23. Поясніть, який відрізок називається перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної прямої. Що така підстава перпендикуляра? Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається підставою перпендікуляра.Перпендікуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, який має одним зі своїх кінців їх точку перетину. Кінець відрізка, що лежить на даній прямій, називається підставою перпендикуляра.
24. Що таке теорема і доказ теореми? В математиці твердження, справедливість якого встановлюється шляхом міркувань, називається теоремою, а саме міркування - доказом теореми.
Теорема - твердження, для якого в розглянутій теорії існує доказ (інакше кажучи, висновок). На відміну від теорем, аксіомами називаються твердження, які, в рамках конкретної теорії, приймаються істинними без будь-яких доказів або обгрунтувань. Доказ - це твердження, що пояснює теорему. Теорема - така гіпотеза, яку потрібно довести; Гіпотеза завжди потребує доведення. Доказ - докази, що підтверджують дієвість, правильність теореми.
Доведіть теорему про існування перпендикуляра до прямої. (Ріс.56 в підручнику)
Теорема. З точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої.
Доведення. Нехай A - точка, що не лежить на даній прямій a (рис. 56, а). Доведемо, що з точки A можна провести перпендикуляр до прямої a. Подумки перегній площину по прямій a (рис. 56, б) так, щоб напівплощина з кордоном a, що містить точку A, наклалася на іншу полуплоскость. При цьому точка Aналожітся на деяку точку. Позначимо її буквою B. Розігніть площину і проведемо через точки A і Bпрямую.
Нехай H - точка перетину прямих AB і a (рис. 56, в). При повторному перегибании площині по прямій aточка H залишиться на місці. Тому промінь HA належиться на промінь HB, і, отже, кут 1 суміститься з кутом 2. Таким чином, ∠1 = ∠2. Так як кути 1 і 2 - суміжні, то їх сума дорівнює 180 °, тому кожен з них - прямий. Отже, відрізок AH - перпендикуляр до прямої a. Теорема доведена.
Доведіть теорему про єдиності перпендикуляра до прямої. (Ріс.57 в підручнику)
Теорема. З точки, що не лежить на прямій, можна провести два перпендикуляра до цієї прямої.
Доведення. Нехай A - точка, що не лежить на даній прямій a (див. Рис. 56, а). Доведемо, що з точки Aнельзя провести два перпендикуляра до прямої a. Припустимо, що з точки A можна провести два перпендикуляра AH і AK до прямої a (рис. 57). Подумки перегній площину по прямій a так, щоб напівплощина з кордоном a, що містить точку A, наклалася на іншу полуплоскость. При перегибании точки H і K залишаються на місці, точка A накладається на деяку точку. Позначимо її буквою B. При цьому відрізки AH і AK накладаються на відрізки BH і BK.
Кути AHB і AKB - розгорнуті, так як кожен з них дорівнює сумі двох прямих кутів. Тому точки A, Hи B лежать на одній прямій і також точки A, K і B лежать на одній прямій.
Таким чином, ми отримали, що через точки A і B проходять дві прямі AH і AK. Але цього не може бути. Отже, наше припущення не так, а значить, з точки A не можна провести два перпендикуляра до прямої a. Теорема доведена.