Як спростити подкоренное вираз

Подкоренное вираз - це вираз, яке знаходиться під знаком кореня (квадратного, кубічного або більш високого порядку). Іноді значення різних виразів можуть бути однаковими, наприклад, 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Спрощення подкоренного вираження покликане привести його до деякої канонічної формі записи. Якщо два вирази, які записані в канонічній формі, як і раніше різні, їх значення не рівні. В математиці вважається, що канонічна форма запису підкореневих виразів (а також виразів з коренями) відповідає наступним правилам:

• Якщо можна, позбудьтеся від дробу під знаком кореня
• Позбавтеся від виразу з дробовим показником
• Якщо можна, позбудьтеся від коренів в знаменнику
• Позбавтеся від операції множення кореня на корінь
• Під знаком кореня потрібно залишити тільки ті члени, з яких не можна витягти цілочисельний корінь

Ці правила можна застосувати до виконання тестових завдань. Наприклад, якщо ви вирішили задачу, але результат не збігається ні з одним з наведених відповідей, запишіть результат в канонічній формі. Майте на увазі, що відповіді до тестових завдань даються в канонічній формі, тому якщо записати результат в тій же формі, ви з легкістю визначте правильну відповідь. Якщо в задачі потрібно «спростити відповідь» або «спростити подкоренное вираження», необхідно записати результат в канонічній формі. Більш того, канонічна форма спрощує рішення рівнянь, хоча з деякими рівняннями легше впоратися, якщо на якийсь час забути про канонічну формі записи.

правити Кроки

Спростіть подкоренное вираз, яке є повним квадратом. Повний квадрат представляє собою число, яке є квадратом деякого цілого числа, наприклад, 81 - це повний квадрат, тому що 9 ^ 2 = 9 х 9 = 81. Щоб спростити подкоренное вираз, яке є повним квадратом, просто позбудьтеся від знака кореня і запишіть ціле число (при зведенні якого в квадрат вийде подкоренное вираз).

• Наприклад, 121 - це повний квадрат, тому що 11 х 11 = 121. Таким чином, √121 = 11 (тобто позбавляємося від знака кореня і записуємо ціле число).
• Щоб полегшити обчислення, запам'ятайте такі повні квадрати: 1 х 1 = 1, 2 х 2 = 4, 3 х 3 = 9, 4 х 4 = 16, 5 х 5 = 25, 6 х 6 = 36, 7 х 7 = 49 , 8 х 8 = 64, 9 х 9 = 81, 10 х 10 = 100, 11 х 11 = 121, 12 х 12 = 144.

Спростіть подкоренное вираз, яке є повним кубом. Повний куб являє собою число, яке є кубом деякого цілого числа, наприклад, 27 - це повний куб, тому що 3 ^ 3 = 3 х 3 X 3 = 27. Щоб спростити подкоренное вираз, яке є повним кубом, просто позбудьтеся від знака кореня і запишіть ціле число (при зведенні якого в куб вийде подкоренное вираз).

• Наприклад, 343 - це повний куб, тому що 7 х 7 х 7 = 343. Таким чином, кубічний корінь з 343 дорівнює 7.

Правити Метод 2 з 6:
Позбавлення від виразу з дробовим показником

Перетворіть вираз з дробовим показником в подкоренное вираз. Або, якщо потрібно, перетворіть подкоренное вираз у вираз з дробовим показником, але ніколи не змішуйте такі вирази в одному рівнянні, наприклад, так: √5 + 5 ^ (3/2). Припустимо, ви вирішили працювати з корінням; квадратний корінь з n будемо позначати як √n, а кубічний корінь з n як куб√n.

Знайдіть вираз з дробовим показником і перетворіть його в подкоренное вираз: х ^ (a / b) = корінь b-го ступеня з x ^ a.

• Якщо ступінь кореня є дріб, також позбудьтеся від неї. Наприклад, корінь 2/3-го ступеня з 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

Перетворіть вираз з негативним показником в відповідне дробове вираження: х ^ (- y) = 1 / х ^ у.

• Це відноситься тільки до постійних, раціональним показниками. Коли член містить змінну, наприклад, 2 ^ х, не чіпайте його, навіть якщо змінна «х» є дробової або негативною.

Згідно канонічної формі знаменник. якщо можливо, повинен включати тільки цілі числа (або многочлен в разі присутності змінної).

• Якщо знаменник являє собою одночлен під знаком кореня, наприклад, [чисельник] / √5, помножте чисельник і знаменник на цей корінь: ([чисельник] * √5) / (√5 * √5) = ([чисельник] * √5 ) / 5.
  • У разі кубічного кореня або кореня більшою мірою помножте чисельник і знаменник на корінь з подкоренное виразом у відповідній мірі, щоб раціоналізувати знаменник. Якщо, наприклад, в знаменнику знаходиться куб√5, помножте чисельник і знаменник на куб√ (5 ^ 2).
• Якщо знаменник є виразом у вигляді суми або різниці квадратних коренів, таких як √2 + √6, помножте чисельник і знаменник на поєднане вираз, тобто вираз зі зворотним знаком між його членами. Наприклад: [чисельник] / (√2 + √6) = ([чисельник] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Потім за допомогою формули різниці квадратів ((а + b) (а - b) = а ^ 2 - b ^ 2) раціоналізує знаменник: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.
  • Формулу різниці квадратів можна також застосовувати до вираження виду 5 + √3, тому що будь-яке ціле число є квадратним коренем з іншого цілого числа. Наприклад: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22
  • Цей метод можна застосовувати до суми квадратних коренів, таких як √5 - √6 + √7. Якщо згрупувати цей вислів у вигляді (√5 - √6) + √7 і помножити його на (√5 - √6) - √7, ви не позбудетеся від коренів, а отримаєте вираз виду а + b * √30, де « а »і« b »- одночлени без кореня. Потім отриманий вираз можна помножити на поєднане: (а + b * √30) (а - b * √30), щоб позбутися від коренів. Тобто якщо зв'язаних виразом можна скористатися один раз, щоб позбутися від деякої кількості коренів, то їм можна користуватися скільки завгодно раз, щоб позбутися від усіх коренів.
  • Цей метод також застосуємо до коріння більш високих ступенів, наприклад, до вираження «корінь 4-го ступеня з 3 плюс корінь 7-го ступеня з 9». В цьому випадку помножте чисельник і знаменник на вираз, поєднане висловом в знаменнику. Але тут поєднане вираз буде трохи іншим у порівнянні з тими, які описані вище. Про цей випадок можна почитати в підручниках з алгебри.

Спростіть чисельник після того, як ви позбулися коренів в знаменнику. У чисельнику знаходиться твір вихідного вираження і сполученого вираження. Розкрийте дужки. перемноживши відповідні члени. Наведіть подібні члени і, якщо можна, спростите отриманий вираз.