Вірні обидва варіанти, природно. Зараз ми розберемо кожен з них окремо:
1.За повернення. Такий варіант більш частот. Наприклад: "Після повернення Зінаїди Петрівни і її візиту, Наталя стала більш спокійною". Його можна замінити поєднанням «після повернення». Тобто, прийменник «за» використовується в значенні «після». В цьому випадку іменник «повернення» ставиться в формі місцевого відмінка.
2. За поверненню. Набагато більш рідкісний варіант, але цілком допустимий і грамотний. Наприклад: «Я завжди дізнаюся про настання весни по поверненню з півдня перелітних птахів». Як видно, прийменник «за» використаний тут в значенні «завдяки», «за допомогою», «за фактом». Слово «повернення» має свій законний Давальний відмінок.
система вибрала цю відповідь найкращим
В даному випадку можна говорити про можливість використання двох варіантів написання, але варто відзначити, що в пріоритеті все варіант "ПІСЛЯ ПОВЕРНЕННЯ". Тепер давайте розглянемо залежність від контексту:
1) Пишемо "після повернення" якщо мається на увазі значення прийменника "по" як "після". Приклад: після повернення додому я піду в магазин. Вживаємо в іменник "повернення" в місцевому відмінку;
2) Пишемо "по поверненню", якщо мається на увазі значення прийменника "по" як "завдяки". Приклад: я можу судити про те, що всі будинки по поверненню мами з роботи. Вживаємо "повернення" в давальному відмінку.
Вживаються обидва варіанти.
Найчастіше зустрічається перший варіант - після повернення. Його ми пишемо тоді, коли замість нього можна вставити фразу "після повернення", тобто цей варіант використовується тоді, коли маємо на увазі щось "після". Наприклад, після повернення тренера і його відвідування, команда стала грати більш розкуто.
Варіант "по поверненню" зустрічається набагато рідше, але все ж є правильним. Його ми можемо вживати тоді, коли можна замінити поєднанням "за допомогою", "за фактом", "завдяки" і т. П. Якщо в першому варіанті слово знаходиться в місцевому відмінку, то тут - в давальному.
Тут правильність написання і вимови буде відрізнятися в залежності від контексту, від того значення, яке має дана конструкція з прийменником "по" - якщо мається на увазі значення "після", то нормою російської мови закріплена форма "після повернення" - це потрібно просто запам'ятати . Якщо ж прийменник "по" в смисловому контексті можна замінити приводом "завдяки", то тут вірним виявляється варіант "по поверненню".