Правильне написання залежить від того, яка частина мови перед нами і на який за рахунком склад робиться наголос. У написаннях ПОТІМ і патом помилок немає, якщо слова вжиті у відповідних написанням значеннях і з відповідним наголосом.
Якщо вимовити ці слова з наголосом на складі першому - ПОТІМ і патом, то обидва слова входять в лексику нашої мови.
I Є у нас іменник ПОТ. Його відрізняє переміщається з основи на закінчення наголос: у числі єдиному воно на основі, а оскільки основа дорівнює кореню, то на корені, а в множині - на закінченні.
II А шахісти добре знають лексему ПАТ (положення, коли фігурам одного боку нікуди рухатися, але мат королю не оголошений). У всіх її (лексеми) 12 словоформах ударна основа, яка теж дорівнює кореню. І знову ж таки орудний відмінок числа єдиного - патом - показує, що з двох написаний, в яких наголошує не проставлено, можна вибрати і друге, просто слово буде тією ж самою частини мови, що й потім. але, природно, з абсолютно іншим значенням.
У лексеми ПАТ є омонім: ласуни прекрасно знають, що ПАТ - це один з видів мармеладу.
Шахові і кулінарні Пати - омоніми повні. то пак збігаються у всіх своїх словоформах, включаючи і орудний єдиного:
- Моя шахова партія з Борисом закінчилася патом.
- Я п'ю чай з смачним яблучним патом.
III Крім уже названих лексем, є власне найменування патом. є частиною складових топонімів:
- зустріч з міністром Гідеон Патом;
- змагатися з Джоном Патом в метанні дротиків.
V Люди поважного віку, безумовно, пам'ятають дует датських коміків - Пата і Паташон. Пат - високий, худий, меланхолійний. З Патом поруч завжди був Паташон - шустренький і дуже рухливий товстун.
Звичайно ж, власні імена - топоніми Патом (назви географічні) у відповідних відмінках називному / знахідному і антропонімів Патом (ім'я та прізвище Пат, з Патом) в відмінку орудному - крім усього іншого, пишуться ще й з великої літери, але я все ж вирішила включити їх в свою відповідь.
Якщо вимовити дані в питанні слова з наголосом на складі другому, то лише один варіант написання - ПОТІМ - є надбанням нашої мови.
VI Але в нашому багатому мовою два слова ПОТІМ.
По-перше, це наріччя зі значенням «слідом за чимось, за якимись подіями, діями»:
- Тут темно, похмуро, потім навіть незручно.
- Не хочу я йти в парк, і потім на такий похід у мене грошей немає.
ВИСНОВОК: мова російська так багатий, що часто можна аргументувати навіть на перший погляд здаються неймовірними написання. Наприклад, тут я показала, коли слід писати «великий», а коли «вилик», а тут обгрунтувала вірність написання не тільки «натщесерце», а й «на тощак».