Креслення - перший і дуже важливий крок у вирішенні геометричній завдання. Яким повинен бути малюнок правильної піраміди?
Спочатку згадаємо властивості паралельного проектування.
- паралельні відрізки фігури зображуються паралельними відрізками;
- зберігається відношення довжин відрізків паралельних прямих і відрізків однієї прямої.
Малюнок правильної трикутної піраміди
Центр правильного трикутника - точка перетину медіан трикутника. Оскільки медіани в точці перетину діляться у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, подумки з'єднуємо вершину підстави з серединою протилежної сторони, приблизно ділимо її на три частини, і на відстані 2 частин від вершини ставимо крапку. З цієї точки вгору проводимо перпендикуляр. Це - висота піраміди. Перпендикуляр малюємо такої довжини, щоб бічне ребро не закривати зображення висоти.
Малюнок правильної чотирикутної піраміди
Малюнок правильної чотирикутної піраміди також починаємо з підстави. Оскільки паралельність відрізків зберігається, а величини кутів - немає, то квадрат в основі зображується параллелограммом. Бажано гострий кут цього паралелограма робити поменше, тоді бічні грані виходять більше. Центр квадрата - точка перетину його діагоналей. Проводимо діагоналі, з точки перетину відновлюємо перпендикуляр. Цей перпендикуляр - висота піраміди. Вибираємо довжину перпендикуляра таким чином, щоб бічні ребра не зливалися між собою.
Малюнок правильної шестикутної піраміди
Оскільки при паралельному проектуванні паралельність відрізків зберігається, підстава правильної шестикутної піраміди - правильний шестикутник - зображуємо шестикутником, у якого протилежні сторони паралельні і рівні. Центр правильного шестикутника - точка перетину його діагоналей. Щоб не захаращувати малюнок, діагоналі не проводимо, а знаходимо цю точку приблизно. З неї відновлюємо перпендикуляр - висоту піраміди - так, щоб бічні ребра не зливалися між собою.
При побудові «золотого перетину» врахуйте первинну величину, рівну 7, 23 см. Далі порахуйте коефіцієнт «золотого перетину». Це число застосовується в різних науках і одно 1,618. Помножте 72,3 мм на 1,618, вийде 116,981 мм. Значення можна округлити - 117 мм, йому будуть рівні сторони основи піраміди. Отже - 7,2 см - висота пірамідки, 11,7 см - сторони підстави пірамідки.
Тепер порахуйте розмір трикутних граней, використовуючи «закон Піфагора» ви отримаєте 92,769 см, округлятимете значення до 9,3 см. Візьміть олівець, лінійку і папір намалюйте чотири трикутники з параметрами 11,7 * 9,3. Якщо у пірамідки буде підстава, то потрібен ще й квадрат зі сторонами 11,7 * 11,7 * 11,7 * 11,7. Для скріплення сторін піраміди не використовуйте шурупи цвяхи і болти - енергетика такої піраміди буде порушена.
Розкладіть трикутники таким чином, щоб вийшла піраміда, розгорнута широкою стороною до столу. Скріпіть краю трикутників скотчем, самоклеющейся стрічкою, або скріпіть проклеєними паперовими відрізками.
Зіставте точки кутів першої та четвертої межі якомога точніше. Переверніть. проклейте внутрішні шви. Перевірте розмір квадрата підстави. Відкладіть склеєні трикутники, нехай клей закріпиться.
Отримана модель піраміди порожниста. Якщо цього достатньо, можете залишити свою пірамідку в такому вигляді, якщо немає - приклейте купол до основи. Направте це джерело позитивної енергії на вирішення конкретних завдань.
Задайте програму, використовуючи певну інформацію. Пофарбуйте піраміду в свій улюблений колір, наклейте картинки, намалюйте візерунки, напишіть добрі побажання. Використовуйте її як джерело сили, розмітити на її гранях свої фото. Наповніть склянку водою, накрийте його куполом піраміди. Вода поміняє свої властивості і перетвориться в «живу».
Самонавіювання це чи ні, головне - повірте в інформацію, і добрі думки матеріалізуються обов'язково.
Піраміда (πυραμίς. Πυραμίδος) -. одна з граней якого (звана підставою) - довільний. а інші грані (звані бічними гранями) -. мають загальну вершину. За кількістю кутів підстави розрізняють піраміди трикутні (), чотирикутні і т.д. Піраміда є окремим випадком.
Історія розвитку піраміди в геометрії
Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті і Вавилоні, проте активний розвиток отримало в Стародавній Греції. Обсяг піраміди був відомий стародавнім єгиптянам. Першим грецьким математиком, хто встановив, чому дорівнює об'єм піраміди, був. а довів. Давньогрецький математик систематизував знання про піраміду в XII томі своїх. а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які від одній площині сходяться в одній точці (книга XI, визначення 12).
елементи піраміди
SO - висота
SF - апофема
OF - радіус вписаного в основу кола
- - висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;
- бічні грані - трикутники, що сходяться у вершині;
- бічні ребра - загальні сторони бічних граней;
- вершина піраміди - точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить в площині основи;
- висота - відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди і є підстави перпендикуляра);
- діагональне перетин піраміди - перетин піраміди, що проходить через вершину і діагональ підстави;
- підстава - багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
розгортка піраміди
Розгортка правильної п'ятикутної піраміди:
1. в площині підстави ( «зірка»)
2. в площині однієї з бічних граней
Розгортку називається плоска фігура, отримана при суміщенні поверхні геометричного тіла з однією площиною (без накладення граней або інших елементів поверхні один на одного). Приступаючи до вивчення розгортки поверхні, останню доцільно розглядати як гнучку, нерозтяжна плівку. Деякі з представлених таким чином поверхонь можна шляхом згинання сумістити з площиною. При цьому, якщо відсік поверхні може бути поєднаний з площиною без розривів і склеювання, то таку поверхню називають розгортається, а отриману плоску фігуру - її розгортку.
властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні. то:
- навколо основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
- бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути;
- також вірно і зворотне, тобто якщо бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або якщо близько основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр, то всі бічні ребра піраміди рівні.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом. то:
- в основу піраміди можна вписати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
- висоти бічних граней рівні;
- бічній поверхні дорівнює половині твори підстави на бічній грані.
Теореми, що зв'язують піраміду з іншими геометричними тілами
Опис сфери навколо правильної піраміди:
SD - висота піраміди.
AD - радіус кола, що описує підставу.
В - середина ребра бічної грані
С - точка перетину площин проходять через середину ребер перпендикулярно їм.
AC = CS - радіус сфери описує піраміду
Сфера вписана в правильну піраміду:
D - центр підстави
SF - апофема
ASD - биссекторной площину кута між бічними гранями
BCE - биссекторной площину кута між підставою і бічною гранню
С - точка перетину всіх биссекторной площин
CK = CD - радіус сфери вписаною в піраміду
- біля піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми випливає, що як близько будь-трикутної, так і поблизу кожної правильної піраміди можна описати сферу;
- в піраміду можна вписати сферу тоді, коли внутрішніх піраміди перетинаються в одній точці (). Ця точка буде центром сфери.
- Конус називається вписаним в піраміду, якщо вершини їх збігаються, а його основу вписано в основу піраміди. Причому вписати конус в піраміду можна тільки тоді, коли апофеми піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова);
- Конус називається описаним близько піраміди, коли їх вершини збігаються, а його підставу описано близько підстави піраміди. Причому описати конус близько піраміди можна тільки тоді, коли всі бічні ребра піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова);
- Висоти у таких конусів і пірамід рівні між собою.
- Циліндр називається вписаним в піраміду, якщо одне його підстава збігається з колом вписаною в перетин піраміди площиною, паралельної підставі, а інша підстава належить основи піраміди.
- Циліндр називається описаним близько піраміди, якщо вершина піраміди належить його однією підставою, а інше його підставу описано близько підстави піраміди. Причому описати циліндр близько піраміди можна тільки тоді, коли в основі піраміди - вписаний багатокутник (необхідна і достатня умова).
Формули, пов'язані з пірамідою
- піраміди може бути обчислений за формулою:
,> Де V p> - обсяг паралелепіпеда;
- Також обсяг трикутної піраміди (тетраедра) може бути обчислений за формулою:
- Бічна поверхня - це сума площ бічних граней:
- Повна поверхня - це сума площі бічної поверхні і площі підстави:
- Для знаходження площі бічної поверхні в правильній піраміді можна використовувати формули:
Особливі випадки піраміди
правильна піраміда
Піраміда називається правильною, якщо підставою її є. а вершина проектується в центр підстави. Тоді вона володіє такими властивостями:
- бічні ребра правильної піраміди рівні;
- в правильній піраміді всі бічні грані - трикутник;
- в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
- якщо центри вписаною і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π. а кожен з них відповідно π n >>. де n - кількість сторін багатокутника підстави;
- площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твори підстави на апофему.
прямокутна піраміда
Піраміда називається прямокутної, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярно основи. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.
Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра будь-яка з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «». Правильна трикутна піраміда - це піраміда з правильним трикутником в підставі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.