На даному уроці ми розглянемо інтеграли від тригонометричних функцій, тобто начинкою інтегралів у нас будуть синуси, косинуси, тангенси і котангенс в різних комбінаціях. Всі приклади будуть розібрані докладно, доступно і зрозуміло навіть для чайника.
Для успішного вивчення інтегралів від тригонометричних функцій Ви повинні добре орієнтуватися в найпростіших інтеграли, а також володіти деякими прийомами інтегрування. Ознайомитися з цими матеріалами можна на лекціях Невизначений інтеграл. Приклади рішень і Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
А зараз нам потрібні: Таблиця інтегралів. Таблиця похідних і Довідник тригонометричних формул. Всі методичні посібники можна знайти на сторінці Математичні формули і таблиці. Рекомендую все роздрукувати. Особливо загострюю увагу на тригонометричних формулах, вони повинні бути перед очима - без цього ефективність роботи помітно знизиться.
Але спочатку про те, яких з дитинства інтегралів в даній статті немає. Тут не знайдеться інтегралів виду, - косинус, синус, помножений на який-небудь многочлен (рідше що-небудь з тангенсом або котангенсом). Такі інтеграли інтегруються частинами, і для вивчення методу відвідайте урок Інтегрування по частинах. Приклади рішень Також тут не знайдеться інтегралів з «арками» - арктангенсом, арксинуса і ін. Вони теж найчастіше інтегруються частинами.
При знаходженні інтегралів від тригонометричних функцій використовується ряд методів:
Використання тригонометричних формул
Зниження ступеня підінтегральної функції (окремий випадок п.1)
Метод заміни змінної
Універсальна тригонометрическая підстановка (окремий випадок п.3)
В рамках уроку я постараюся докладно розібрати всі перераховані методи і привести приклади розв'язання типових інтегралів. Слід зазначити, що такий розподіл за параграфами вельми умовно, оскільки дуже часто перераховані вище правила використовуються одночасно.
Використання тригонометричних формул
Знайти невизначений інтеграл.
(1) Ми бачимо, що в подинтегрального вираженні перебуває твір двох функцій. На жаль, в інтегральному численні немає зручної формули для інтегрування твори:, тому доводиться вдаватися до різних хитрощів. В даному випадку ми перериваємо рішення значком і пояснюємо, що використовується тригонометрическая формула. Дана формула перетворює твір у суму.
(2) Використовуємо властивості лінійності невизначеного інтеграла - інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів; константу можна (і потрібно) винести за знак інтеграла.
!Довідка: При роботі з тригонометричними функціями слід пам'ятати, що:
Косинус - це парна функція, тобто, мінус зникає без будь-яких наслідків. У розглянутому прикладі:
Синус - функція непарна: - тут мінус, навпаки - не пропадає, а виноситься.
(3) Під інтегралами у нас складні функції (косинуси не просто від, а від складного аргументу). Це найпростіші з складних функцій, інтеграли від них зручніше знайти методом підведення під знак диференціала. Більш докладно з даними прийомом можна ознайомитися на уроці Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
(4) Використовуємо табличну формулу, єдина відмінність, замість «ікси» у нас складний вираз.
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад для самостійного рішення, повне рішення і відповідь - в кінці уроку.
Знайти невизначений інтеграл.
Класика жанру для тих, хто тоне на заліку. Як Ви, напевно, помітили, в таблиці інтегралів немає інтеграла від тангенса і котангенс, але, тим не менш, такі інтеграли знайти можна.
(1) Використовуємо тригонометричну формулу
(2) Підводимо функцію під знак диференціала.
(3) Використовуємо табличний інтеграл.
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад для самостійного рішення, повне рішення і відповідь - в кінці уроку.
Знайти невизначений інтеграл.
Ступеня у нас будуть потихеньку підвищуватися =).
Спочатку рішення:
(1) Використовуємо формулу
(2) Використовуємо основне тригонометричну тотожність, з якого випливає, що.
(3) Почленно ділимо чисельник на знаменник.
(4) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтеграла.
(5) Інтегруємо за допомогою таблиці.
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад для самостійного рішення, повне рішення і відповідь - в кінці уроку.
Також існують інтеграли від тангенсів і котангенсів, які знаходяться в більш високих ступенях. Інтеграл від тангенса в кубі розглянуто на уроці Як обчислити площу плоскої фігури? Інтеграли від тангенса (котангенс) в четвертій і п'ятій ступенях можна роздобути на сторінці Складні інтеграли.
Зниження ступеня підінтегральної функції
Даний прийом працює, коли підінтегральна функції нафаршировані синусами і косинусами в парних ступенях. Для зниження ступеня використовують тригонометричні формули, і, причому остання формула частіше використовується в зворотному напрямку:.
Знайти невизначений інтеграл.
В принципі, нічого нового тут немає, за винятком того, що ми застосували формулу (знизивши ступінь підінтегральної функції). Зверніть увагу, що я скоротив рішення. У міру накопичення досвіду інтеграл від можна знаходити усно, це економить час і цілком допустимо при чистовому оформленні завдань. В даному випадку доцільно не розписувати і правило, спочатку усно беремо інтеграл від 1, потім - від.
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад для самостійного рішення, повне рішення і відповідь - в кінці уроку.
Таки обіцяне підвищення ступеня:
Знайти невизначений інтеграл.
(1) Готуємо підінтегральної функції для застосування формули.
(2) Власне застосовуємо формулу.
(3) Будуємо знаменник в квадрат і виносимо константу за знак інтеграла. Можна було вчинити трохи інакше, але, на мій погляд, так зручніше.
(4) Використовуємо формулу
(5) В третьому доданку знову знижуємо ступінь, але вже за допомогою формули.
(6) Наводимо подібні доданки (тут я почленно розділив і виконав складання).
(7) Власне беремо інтеграл, правило лінійності і метод підведення функції під знак диференціала виконуємо усно.
(8) зачісуватися відповідь.
! У невизначеному інтегралі нерідко відповідь можна записати декількома способами
У щойно розглянутому прикладі остаточну відповідь можна було записати інакше - розкрити дужки і навіть це зробити ще до інтегрування виразу, тобто цілком допустима наступна кінцівка прикладу:
Цілком можливо, що такий варіант навіть зручніше, просто я пояснив так, як сам звик вирішувати). Ось ще один характерний приклад для самостійного рішення:
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад вирішується двома способами, і у Вас можуть вийти два абсолютно різних відповіді (точніше кажучи, вони будуть виглядати зовсім по-різному, а з математичної точки зору бути еквівалентними). Швидше за все, Ви не побачите найбільш раціональний спосіб і помучитеся з розкриттям дужок, використанням інших тригонометричних формул. Найбільш ефективне рішення приведено в кінці уроку.
Підсумовуючи параграф, зробимо висновок: будь-інтеграл виду, де і - парні числа, вирішується за допомогою зниження ступеня підінтегральної функції.
На практиці мені зустрічалися інтеграли з 8 і 10 ступенями, вирішувати їх жахливий гемор доводилося, знижуючи ступінь кілька разів, в результаті чого виходили довгі-довгі відповіді.
Метод заміни змінної
Як уже згадувалося в статті Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі. основною передумовою для використання методу заміни є той факт, що в подинтегрального вираженні є деяка функція і її похідна:
(Функції, не обов'язково знаходяться в творі)
Знайти невизначений інтеграл.
Дивимося в таблицю похідних і помічаємо формули,, тобто, в нашому подинтегрального вираженні є функція і її похідна. Однак ми бачимо, що при диференціюванні косинус і синус взаємно перетворюються один в одного, і виникає питання: як виконати заміну змінної і що ж позначати за - синус або косинус. Питання можна вирішити методом наукового тику: якщо ми неправильно виконаємо заміну, то нічого доброго не вийде.
Загальний орієнтир: в схожих випадках за потрібне позначити функцію, яка знаходиться в знаменнику.
Перериваємо рішення і проводимо заміну
У знаменнику у нас все добре, все залежить тільки від, тепер залишилося з'ясувати, на що перетвориться.
Для цього знаходимо диференціал:
Або, якщо коротше:
З отриманої рівності за правилом пропорції висловлюємо потрібне нам вираз:
Отже:
Тепер все підінтегральний вираз у нас залежить тільки від і можна продовжувати рішення
Готово. Нагадую, що мета заміни - спростити підінтегральний вираз, в даному випадку все звелося до інтегрування статечної функції по таблиці.
Я не випадково так докладно розписав цей приклад, це зроблено з метою повторення і закріплення матеріалів уроку Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
А зараз два приклади для самостійного рішення:
Знайти невизначений інтеграл.
Знайти невизначений інтеграл.
Повні рішення і відповіді в кінці уроку.
Знайти невизначений інтеграл.
Тут знову в подинтегрального вираженні знаходяться синус з косинусом (функція з похідною), але вже в творі, і виникає дилема - що ж позначати за, синус або косинус?
Можна спробувати провести заміну методом наукового тику, і, якщо нічого не вийде, то позначити за іншу функцію, але є:
Загальний орієнтир: за потрібно позначити ту функцію, яка, образно кажучи, перебуває в «незручному положенні».
Ми бачимо, що в даному прикладі студент косинус «мучиться» від ступеня, а синус - вільно так сидить, сам по собі.
Тому проведемо заміну:
Якщо у кого залишилися труднощі з алгоритмом заміни змінної та знаходженням диференціала, то слід повернутися до уроку Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
Знайти невизначений інтеграл.
Аналізуємо підінтегральної функції, що потрібно позначити за?
Згадуємо наші орієнтири:
1) Функція, швидше за все, знаходиться в знаменнику;
2) Функція знаходиться в «незручному положенні».
До речі, ці орієнтири справедливі не тільки для тригонометричних функцій.
Під обидва критерії (особливо під другий) підходить синус, тому напрошується заміна. В принципі, заміну можна вже проводити, але спочатку непогано було б розібратися, а що робити з? По-перше, «відщипуємо» один косинус:
ми резервуємо під наш «майбутній» диференціал
А висловлюємо через синус за допомогою основного тригонометричного тотожності:
Ось тепер заміна:
Загальне правило: Якщо в підінтегральної функції одна з тригонометричних функцій (синус або косинус) знаходиться в непарній ступеня, то потрібно від непарного степеня «відкусити» одну функцію, а за - позначити іншу функцію. Йдеться тільки про інтеграли, де є косинуси і синуси.
У розглянутому прикладі в непарній ступеня у нас знаходився косинус, тому ми отщіпнулі від ступеня один косинус, а за позначили синус.
Знайти невизначений інтеграл.
Ступені йдуть на зліт =).
Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
Універсальна тригонометрическая підстановка
Універсальна тригонометрическая підстановка - це частий випадок методу заміни змінної. Її можна спробувати застосувати, коли «не знаєш, що робити». Але насправді є деякі орієнтири для її застосування. Типовими інтегралами, де потрібно застосувати універсальну тригонометричну підстановку, є наступні інтеграли:,,, і т.д.
Знайти невизначений інтеграл.
Універсальна тригонометрическая підстановка в даному випадку реалізується в такий спосіб. Проведемо заміну:. Я використовую а не літеру, а букву, це не є якимось правилом, просто знову ж я так звик вирішувати.
Тут зручніше знаходити диференціал, для цього з рівності, я висловлюю:
Навішують на обидві частини арктангенс:
Арктангенс і тангенс взаємно знищуються:
На практиці годі й розписувати так докладно, а просто користуватися готовим результатом:
! Вираз справедливо тільки в тому випадку, якщо під синусами і косинусами у нас просто «ікси», для інтеграла (про який ми ще поговоримо) все буде трохи інакше!
При заміні синуси і косинуси у нас перетворюються в наступні дроби:
, , ці рівності засновані на відомих тригонометричних формулах:,
Отже, чистове оформлення може бути таким:
Проведемо універсальну тригонометричну підстановку:
(1) Виробляємо в вихідний інтеграл підстановку:,,.
(2) Наводимо знаменник до спільного знаменника.
(3) Позбавляємося від чотириповерховий дробу, при цьому у нас скорочується. Розкриваємо дужки в знаменнику, двійку в чисельнику виносимо за знак інтеграла.
(4) Наводимо подібні доданки в знаменнику.
(5) Інтеграл вирішується шляхом виділення повного квадрата. Більш детально з цим методом можна ознайомитися на уроці Інтегрування деяких дробів. Розкладання є підготовкою для здійснення вищевказаного прийому
(6) Виділяємо повний квадрат і готуємо інтеграл для інтегрування.
(7) Інтегруємо по табличній формулою.
(8) Проводимо зворотну заміну, згадуючи, що.
Розглянемо схожий інтеграл:, ні, вирішувати ми його не будемо =), а просто зрозуміємо як проводити заміну.
Тут теж проводиться універсальна тригонометрическая підстановка:.
Зверніть увагу, що аргумент під тангенсом повинен битьв два рази менше. ніж під синусом і косинусом. Формули, зберігають статус-кво, а ось диференціал буде трохи інший (я не даремно недавно так докладно його розписав):
Інтеграл вирішується шляхом заміни і т.д. все точно так же, єдина відмінність, диференціал буде знову трохи інший.
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
За допомогою універсальної тригонометричної підстановки вирішуються і інтеграли на кшталт такого:
Знайти невизначений інтеграл.
Тут перед застосуванням універсальної тригонометричної підстановки необхідно знизити ступеня в знаменнику за допомогою формул,. Спробуйте розібратися в даному прикладі самостійно, повне рішення і відповідь дуже близько!
Застосування універсальної тригонометричної підстановки часто призводить до довгих і трудомістким обчислень. Тому на практиці універсальної тригонометричної підстановки намагаються уникати (якщо можливо). Для цього використовують ряд методів і прийомів, про які можна прочитати в статті Складні інтеграли.
Рішення і відповіді:
Приклад 2: Рішення:
Приклад 4: Рішення: