Серед простих формул інтегрування відсутні готові залежності, що дозволяють знайти інтеграл від тангенса (tg (x)) і котангенс (ctg (x)). Але такі приклади в задачах зустрічаються і потрібно знати: "Як обчислити інтеграл від тангенса і котангенс?".
Почнемо з тангенса, розпишемо його у вигляді Частки синуса на косинус
tg (x) = sin (x) / cos (x)
і підставимо в інтеграл.
Зараз Вам зрозуміло. Далі потрібно внести синус під диференціал, щоб звести інтеграції в логарифма
В результаті отримаємо Таким чином вивели просту і потрібну на практиці формулу - інтеграл від тангенса дорівнює логарифму косинуса зі знаком мінус.
Int (tan (x), x) = - log (cos (x)).
За наведеною схемою виведемо формулу для інтеграла від котангенс. Записуємо Частка косинуса на синус в інтеграл і після внесення косинуса під диференціал зводимо інтеграл до логарифму
Інтеграл від котангенса рівний логарифму від синуса.
Int (cot (x), x) = log (sin (x)).
Прості на вигляд формули інтегралів від тангенса і котангенс дозволяють вирішити чимало складних прикладів, наприклад інтегрування тангенса подвійного кута або котангенс половини кута.
Приклади інтегрування тангенса і котангенс
Приклад 1. Знайти інтеграл від тангенса tan (4 * x).
Обчислення: Застосовуємо наведену вище методику для інтегрування тангенса
Тут в дужках ми спочатку обчислюємо диференціал від косинуса, а далі виділяємо значення, яке нам потрібно дістати. Далі інтегрування зводимо до логарифму.
Таким чином можемо записати узагальнену формулу для інтеграла tan (k * x)
Int (tan (k * x), x) = - 1 / k * (log (cos (x)).
За цією формулою інтеграл від тангенса подвійного кута дорівнює логарифму косинуса подвійного кута помноженому на -0,5.
Для тангенса половини кута tan (phi / 2) інтеграл дорівнює -2 помножити на логарифм косинуса половини кута
За індукції отримаємо формулу інтеграла для тангенса однієї третьої кута tan (phi / 3)