Нехай функція f (x) на кожному відрізку [-l, l], де l - будь-яке число, кусочно - гладка або кусково - монотонна, крім того, f (x) - абсолютно інтегрована функція, тобто сходиться невласний інтеграл
Тоді функція f (x) розкладається в ряд Фур'є:
Якщо підставити коефіцієнти в формулу для f (x), отримаємо:
Переходячи до межі при l® ¥. можна довести, що і
При l® ¥ Dun ®0.
Можна довести, що межа суми, що стоїть в правій частині рівності дорівнює інтегралу
Тоді - подвійний інтеграл Фур'є.
- представлення функції f (x) інтегралом Фур'є.
1. Якщо функція f (x) - парна, то формула Фур'є приймає вигляд;
Якщо функція f (x) - непарна, то формула Фур'є приймає вигляд.
2. Якщо функція f (x) задана лише на проміжку. то її можна продовжити на проміжок різними способами, зокрема - парних і непарних чином.
3. Формулу Фур'є можна представити в симетричною формі записи, якщо покласти, що. У разі парної функції:; в разі непарної функції:.
Функції називаються соответсвенно косинус-перетворенням і синус-перетворенням Фур'є для функції f (x).
4. Подвійний інтеграл Фур'є для функції f (x) можна представити в комплексній формі:
Визначення. Якщо f (x) - будь-яка абсолютно інтегрована на всій числовій осі функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на кожному відрізку, то функція
називається перетворенням Фур'є функції f (x).
Функція F (u) називається також спектральної характеристикою функції f (x).
Якщо f (x) - функція, представимо інтегралом Фур'є, то можна записати:
Це рівність називається зворотним перетворенням Фур'є
Приклад. Уявити інтегралом Фур'є функцію.
Функція задовольняє умовам представимости інтегралом Фур'є, абсолютно інтегрована на проміжку. . Функція непарна, приймає формулу:. Отже,.