Гідростатичний рівновагу в зірках
Мабуть найважливішою умовою рівноваги в зірках можна вважати умову механічної рівноваги, тобто рівності сил, що діють на будь-який, довільно виділений обсяг в зірці. Хоча в абсолютному значенні ця умова не може справедливим - практично будь-яка зірка еволюціонує в тій чи іншій мірі, тобто змінює свій радіус, а значить існує сила, яка виконує цю роботу. Однак характерний час такого ізмененяются в більшості випадків така велика (млрд. Років), що з будь-якої розумної точністю умова рівноваги слід вважати виконаним. (Винятки становлять "вибухові" стадії еволюції зірки, які вельми цікаві, але дуже далекі від розуміння).
У класичній теорії еволюції приймаються в розрахунок тільки дві сили, рівновага між якими і називають гідростатичним. Перша - це тиск на виділений обсяг з боку інших елементів газу (тобто термодинамічна тиск самої плазми), а друга - сила гравітаційного тяжіння елементів обсягу з боку інших елементів, що становлять зірку. Очевидно, що саме ці сили розглядаються в гідростатиці, єдиною відмінністю є те, що поле сил тяжіння в гідростатиці зазвичай передбачається зовнішнім.
Для отримання необхідного рівняння просто прирівняємо всі сили тиску P. діючі кожен, досить маленький щоб вважатися плоским елемент поверхні dS. навколишнього виділений обсяг V. і суму сил тяжіння кожного елемента маси dm. тобто
Тепер інтеграл по поверхні слід замінити на інтеграл за обсягом. Така заміна виконується за допомогою теореми Гаусса-Остроградського, сенс якої полягає в можливості розбити наш обсяг на безліч маленких еелементіков "зручною" форми, наприклад циліндрів (необов'язково кругових) з віссю, спрямованої уздовж градієнта тиску З P. Тоді інтеграл по поверхні може бути обчислений як інтеграл за обсягом, обмеженому цією поверхнею, але вже від градієнта тиску (для маленького циліндрів це не важко довести). Наше умова переходить в
Але оскільки ми ніяк не обмежували вибір нашого обсягу, за яким ведеться інтегрування, то єдиний спосіб гарантувати виконання цієї умови - вимагати, щоб підінтегральний вираз дорівнювало нулю в будь-якій точці зірки. Тоді виходить диференціальне рівняння, що виражає гідростатичний рівновагу зірки.
Дане рівняння справедливо для будь-якого випадку гідростатичного рівноваги, включаючи, наприклад, неізотропное тиск (потрібно тільки правильно розуміти операцію градієнта від тензора тиску). Однак в разі зірок, логічно скористатися припущенням про сферичної симетрії зірки, тим більше, що поки не видно сил, які могли б порушувати таку симетрію. У цьому випадку існує вираз для гравітаційного потенціалу j (і його градієнта) через масу шарів mr. укладених в сфері під розглянутої точкою - см. рівняння Пуассона. Крім того, припущення про сферичної симетрії дозволяє записати диференціальні рівняння для похідних по радіусу, оскільки всі інші похідні, що входять в градієнт, просто дорівнюють нулю. В результаті, рівняння приймає вид
з додаванням відповідного рівняння, що визначає величину mr
Легко зрозуміти, що з цих двох рівнянь можна виключити одну невідому, наприклад mr. Правда, порядок рівняння при цьому підвищиться до другого, а невідомих залишиться все одно дві.
(До цього рівняння найпростіше прийти відразу з векторного умови рівноваги, застосовуючи оператор градієнта і використовуючи рівняння Пуассона
Потрібно тільки не забути, що під зовнішнім градієнтом в лівій частині варто векторна функція, тобто він означає дивергенцію - звідси і множник r 2 в запису рівняння в сферичних координатах).
Векторне рівняння другого порядку для відомого тиску як функції щільності.