ХВИЛЬОВІ ЯВИЩА В пружного середовища
Всі реальні хвилі відрізняються від синусоїдальних. Виявляється, що будь-яку несинусоїдальну хвилю можна замінити еквівалентною їй системою синусоїдальних хвиль. Опис хвилі спрощується, якщо хвиля мало відрізняється від синусоїдальної - квазісінусоідальние хвиля.
Квазісінусоідальние хвиля являє собою сукупність синусоїдальних хвиль, частоти яких мало відрізняються від деякої основної частоти w. Таку несинусоїдальну хвилю називають групою хвиль. або хвильовим пакетом.
Дисперсією. називається залежність властивості середовища (наприклад, швидкість поширення хвилі) від частоти
Розглянемо найпростіший хвильовий пакет, утворений двома плоскими поздовжніми синусоїдальними хвилями, що поширюються уздовж осі ОХ. Нехай амплітуди цих хвиль однакові, початкові фази дорівнюють нулю, ачастоти і хвильові числа трохи різні, але близькі один до одного:
Для результуючої хвилі отримаємо:
Амплітуда А цієї хвилі постійної не є, а залежить від координати х і часу:
Вираз для амплітуди хвильового пакета також є рівнянням плоскої синусоїдальної хвилі, яка є хвилею амплітуди коливань. Фаза цій хвилі дорівнює:
Швидкість і поширення енергії хвильового пакета зв. груповий швидкістю, яка дорівнює фазової швидкості хвилі амплітуди. Диференціюючи вираз для ФА і вважаючи ФА = const, одержимо:
У межі, коли Dw та # 916; k прагнуть до нуля, отримаємо:
З урахуванням того, що, формула (9.1) набуде вигляду:
Підставивши в (9.2) вираз частоти через фазову швидкість u, і виконавши диференціювання, отримаємо:
Формула (9.3) встановлює співвідношення між групової та фазової швидкістю хвиль, і отримала назву формули Релея. Швидкість і називається груповою швидкістю пакету хвиль. У разі відсутності дисперсії хвиль (d u / d l = 0) групова швидкість хвиль в пакеті збігається з їх фазової швидкістю.
Так як швидкість групи хвиль характеризує поширення амплітуди хвильового пакета, то групова швидкість визначає швидкість поширення енергії хвилі.
9.2 Інтерференція і дифракція хвиль. Стоячі хвилі.
Принцип Гюйгенса.
Інтерференцією хвиль називають явище, яке виникає при накладенні двох або декількох хвиль і складається в стійкому в часі їх взаємне посилення в одних точках простору і ослаблення в інших, в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль. Інтерферувати можуть тільки ті хвилі, які задовольняють таким умовам:
- хвилі повинні бути синусоїдальними,
- частоти коливань хвиль повинні бути однакові, такі хвилі називаються монохроматичними,
- різниця фаз інтерферуючих хвиль не залежить від часу. такі хвилі називаються когерентними,
- коливання в хвилях відбуваються вздовж одного і того ж напрямку.
При інтерференції хвиль відсутня просте підсумовування їх енергій, інтерференція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища. Тому явище інтерференції не суперечить закону збереження і перетворення енергії. Прикладом інтерференції хвиль є картина, створювана двома хитаються тонкими стрижнями, зануреними в рідину і жорстко пов'язаними один з одним так, що їх амплітуди, частоти і початкові фази однакові. На поверхні рідини буде спостерігатися сукупність гребенів і западин, - максимумів і мінімумів.
Якщо хвиля огинає яка-небудь перешкода, то за ним також буде спостерігатися інтерференційна картина. Наприклад, хвилі, які виходять із точок А і В (рис. 9-1), будуть когерентними, так як ці точки належать хвильовому фронту однієї і тієї ж хвилі. Напрямки коливань в цих точка також збігаються. Тому, в точці О буде спостерігатися інтерференційна картина. Таке явище називається дифракцією хвилі. В результаті дифракції коливання спостерігаються навіть в тих місцях, які «закриті» перешкодою на шляху хвилі.
Все синусоїдальні хвилі поширюються в середовищі незалежно один від одного, так що результуюча зміщення будь-якої частки середовища одно векторної сумі її зсувів, обумовлених кожною з хвиль окремо. Цей результат справедливий для хвиль будь-якої природи і називається принципом суперпозиції хвиль. На основі спостережень Гюйгенсом був запропонований принцип, який пояснює поширення хвилі: кожна точка хвильового фронту є джерелом вторинної сферичної хвилі, а огинає фронтів вторинних хвиль є фронтом нової хвилі.
Явища інтерференції і дифракції проявляються не тільки при поширенні механічних хвиль, але і світових.
На кордоні розділу пружних середовищ механічні хвилі частково переломлюються і частково відбиваються. Напрямок коливань частинок середовища і їх частота в відбитої хвилі не змінюються. При повному відображенні не змінюється і амплітуда коливань. При відображенні від менш щільного середовища фаза коливань не змінюється, а при відображенні від більш щільною середовища фаза змінюється на p. В результаті складання падаючої і відбитої хвилі утворюється стояча хвиля. Знайдемо рівняння стоячої хвилі для повного відображення. Якщо рівняння падаючої хвилі s1 = A cos (wt - kx), то при відображенні від менш щільного середовища рівняння відбитої хвилі S2 = A cos (wt + kx). Складаючи обидва цих рівняння і перетворюючи результат за формулою для суми косинусів, отримаємо:
Оскільки k = 2p / l, то маємо
Рівняння (9.5) є рівняння стоячій хвилі. З (9.5) видно, що в кожній точці стоячої хвилі відбуваються коливання тієї ж частоти w, що і у зустрічних хвиль. Величина є амплітудою стоячій хвилі. У точках, в яких виконується умова
амплітуда коливань максимальна і дорівнює 2А. Ці точки називаються пучностями стоячій хвилі. Координати пучностей:
У точках, в яких виконується умова
амплітуда коливань звертається в нуль. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Координати вузлів:
Відстань між сусідніми вузлами або пучностями дорівнює і називається довжиною стоячої хвилі.
Стоячі хвилі енергії не переносять. У пучностях стоячій хвилі кінетична енергія максимальна, а в вузлах максимальна потенційна енергія.