Щоб відповісти на ці питання розглянемо довільно натягнуту струну. Як струни може виступати дріт, волосінь або просто нитка. Відзначимо основну властивість: якщо вкорочувати струну так, щоб довжини виходять маленьких струн співвідносилися з довжиною всієї струни, як невеликі цілі числа - 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 і т. Д. (Натяг струни при цьому залишається тим же), - то звуки, зіграні на цих струнах, будуть гармонійні один одному і приємні для слуху - з них можна скласти мелодію. Якщо ж взяти співвідношення близьким до цих чисел, але не рівним, - виникає дисонанс. Згадаймо, фложелети можна зіграти тільки на цілих частинах струни - 1/2, 1/3, 1/4 - це і є прояв даної властивості. Тут необхідно виділити октаву - музичний інтервал між звуками цілої струни і її половиною. Два звуку, віддалені на октаву, сприймаються слухом дуже схожими один на одного, хоча явно різняться по висоті.
Точно так само можна не вкорочувати струну на цілі частини, а подовжувати. Позначимо довжину всієї струни за одиницю, і будемо послідовно множити її спочатку на 3/2, а потім на 3/4. Там, де при множенні виходить довжина більше 2, ділимо її на 2, щоб не виходити за межі октави. Отримаємо ряд чисел:
Останнє число дуже близько до одиниці, тому відкинемо його і на цьому зупинимося, а сам ряд замкнемо числом вдвічі більшим початкового і впорядкуємо:
Вийшло поділ октави на 12 інтервалів (півтонів). Червоним тут відзначені числа до 6-го кроку включно, які розташовані ближче до вихідної одиниці в ряду, а значить найбільш стійкі (часто використовувані) в конкретній тональності. Якщо дивитися в бік зменшення довжин, а не збільшення (адже коли ми затискаємо струну, ми її укорочуємо), інтервали між ними будуть дорівнювати 1-2-2-1-2-2-2- ... А тепер зверніть увагу на другу струну гітари і ноти, розташовані на ній:
що в точності відповідає знайденим інтервалах. Ось, власне, звідки і взялися звичні нам сім основних нот. Згадаймо тепер закони, за якими будується мажорна тональність 2-2-1-2-2-2-1- ... і мінорна 2-1-2-2-1-2-2- ... Де 2 - це один тон, а 1 - півтону. Як бачите, тут та сама циклічна послідовність, тільки за початок беруться різні інтервали.
Щось схоже виконав Піфагор в VI столітті до нашої ери, і отриманий звукоряд тому називається піфагорових. Залишилося зробити ліру зі струнами зазначеної довжини або розташувати струни на грифі і затискати їх в потрібних точках. Здавалося б на цьому можна і зупинитися, але ... отриманий ряд хороший, тільки якщо ми граємо в одній тональності, побудованої від однієї ноти. Якщо ж доводиться грати в різних тональностях, то він неприйнятний.
Припустимо, в одній і тій же мелодії у нас використовуються ноти основної тональності До-мажор і паралельної їй Ля-мінор. тобто при грі відбувається якийсь перехід з однієї тональності в іншу. Побудуємо ці ноти і довжини струн для них, виходячи з інтервалів між нотами.
Ноти паралельних тональностей і відповідні їм довжини струн
Як бачите, нота До тут, як тоніка До-мажору. і та ж нота До. як терція (1,5 тони) Ля-мінору. - це дві різні ноти, що, погодьтеся, дуже незручно, а для гітари, у якій лади на відміну від скрипки або контрабаса фіксовані, просто неприпустимо. Щоб зіграти таку мелодію довелося б перебудовувати інструмент в середині гри. Ми розглянули один приклад, в інших помилка буде тільки наростати.
Що ж робити? Подивимося, звідки виникає ця нестикування. У піфогоровом ряді при послідовному збільшенні не відбувається замикання на одиниці, замість неї ми отримуємо числа близькі, але не рівні їй.
Уявімо собі гітару, у якій лади розташовані тільки в тих місцях, де висота збільшується на октаву, тобто на половині струни, на чверті, однієї восьмої і т. Д. Тоді довжину робочої частини струни можна висловити так: l = (1/2 ) n. де n - це номер лада. Назад, номер лада n = log½ l. Тепер згадаємо, що ладів у нас все-таки 12 в одній октаві і все їх ми хочемо побудувати, тому формулу правильніше буде записати n = 12 · log½ l. Подивимося, як лягають на цю криву числа пифагорова ряду, для цього відсортуємо їх в зворотному порядку, щоб відповідні струни розташовувалися в сторону зменшення довжин і поділимо на 2, щоб довжина більшої струни приймалася за одиницю, а не за двійку:
1
0.94921875
0.901016235352
0.84375
0.800903320312
0.75
0.7119140625
0.675762176514
0.6328125
0.600677490234
0.5625
0.533935546875
0.5
Прологаріфміруем по підставі 1/2 і помножимо на 12:
0
0.902249956731
1.80449991346
2.94134997404
3.84359993077
4.98044999135
5.88269994808
6.78494990481
7.92179996538
8.82404992212
9.96089998269
10.8631499394
12
Ідеально лягають на криву тільки перша нота октави 0 і перша нота наступної октави 12; нота, що відстоїть на квінту (5 півтонів) від першої 4.98044999135 лягає добре, але не ідеально. Однак, ми отримали головне - безперервну функцію l = 2 -n / 12. яка має залежність довжини струни від номера лада, для якої з одного боку звуки відповідних інтервалів сприймаються досить гармонійно слухом, а з іншого, не виникає ситуації, коли одна нота, яка виступає в різних іпостасях, роздвоюється. Нота До тут - це завжди нота До. одна й та сама. Добутий за допомогою даної функції ряд - це так званий рівномірно темперований лад, запропонований китайцем Чжу Цзай Юй. Цей лад і використовується в сучасній музиці.
Необхідно розуміти, що тут має місце така собі розмазування помилки по всьому звукоряду, з тим, щоб замість чистої квінти (3/2) і чистої секунди (9/8), як у Піфагора, отримати необхідну нам чисту октаву.
Залишилося тільки внести невелике доповнення l = d · 2 -n / 12. адже довжина струни дорівнює не одиниці, а якийсь розмірної величиною d. яка також називається мензурой гітари.
Приблизно за таким же правилом будується звукоряд духових інструментів, але основними параметрами тут виступають не довжина струни і номер лада, а характеристики вихідного потоку повітря. А що ж з ударними? Можливо, ви бачили, що на ударній установці є всього кілька барабанів і при їх спільній грі з гітарою в різних тональностях ніякого дисонансу не виникає. Справа в тому, що ударні видають не один звук, а цілий спектр, тому і певної частоти у них немає. Хоча це стосується не всіх ударним, дзвони, наприклад, все-таки мають свою висоту звуку.
У висновку хочеться сказати, що поділ октави на 12 частин не єдиний, у персів цих частин було 17 - за основу при розподілі струни вони брали співвідношення 4: 3, а не 3: 2. Існувало і безліч інших варіантів побудови звукового ряду, але всі вони грунтувалися на фізичних характеристиках струни або якогось альтернативного джерела звуку.