За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»
Закон збереження енергії визначає в найзагальнішому вигляді енергетичний баланс при всіляких змінах в будь-якій системі. Запишемо його в такий спосіб:
де Aвнеш - робота, здійснена над розглянутої системою зовнішніми силами, ΔW - зміна енергії системи, Q - кількість теплоти, що виділяється в системі. Домовимося, що якщо Aвнеш> 0, то над системою здійснюють позитивну роботу, а якщо Aвнеш <0, положительную работу совершает система; если ΔW> 0, то енергія системи збільшується, а якщо ΔW <0, энергия уменьшается; наконец, если Q> 0, то в системі виділяється тепло, а якщо Q <0, тепло системой поглощается.
У цій статті ми розглянемо, як закон збереження енергії «працює» в електростатики. У загальному випадку електростатичний система містить взаємодіючі між собою заряди, що знаходяться в електричному полі.
Розглянемо кожний доданок в рівнянні (1) окремо.
Почнемо з енергії. Енергія взаємодії зарядів виражається через характеристики електричного поля цієї системи зарядів. Так, наприклад, енергія зарядженого конденсатора ємністю C задається відомим виразом
де q - заряд обкладок, U - напруга між ними. Нагадаємо, що конденсатор - це система двох провідників (обкладок, пластин), що володіє наступною властивістю: якщо з однієї обкладки на іншу перенести заряд q (т. Е. Одну обкладку зарядити зарядом + q. А іншу -q), то всі силові лінії створеного таким чином поля будуть починатися на одній (позитивно зарядженої) обкладанні і закінчуватися на інший. Поле конденсатора існує тільки всередині нього.
Енергію зарядженого конденсатора можна уявити також як енергію поля, локалізованого в просторі між пластинами з щільністю енергії де E - напруженість поля. По суті, саме цей факт дає підставу говорити про поле як про об'єкт, реально існуючому, - у цього об'єкта є щільність енергії. Але треба пам'ятати, що це просто еквівалентний спосіб визначення енергії взаємодії зарядів (яку тепер ми називаємо енергією електричного поля). Таким чином, ми можемо вважати енергію конденсатора як за формулами (2), так і за формулою
де V - об'єм конденсатора. Останньою формулою легко користуватися, звичайно, тільки в разі однорідного поля, але уявлення енергії в такій формі дуже наочно, а тому зручно.
Звичайно, крім енергії взаємодії зарядів (енергії електричного поля) в енергію системи може входити і кінетична енергія заряджених тіл, і їх потенційна енергія в полі тяжіння, і енергія пружин, прикріплених до тіл, і т. П.
Тепер про роботу зовнішніх сил. Крім звичайної механічної роботи Aмех (наприклад, по розсовування пластин конденсатора), для електричної системи можна говорити про роботу зовнішнього електричного поля. Наприклад, про роботу батареї, що заряджає або перезаряджати конденсатор. Завдання батареї - створити фіксовану, властиву даному джерелу різниця потенціалів між тими тілами, до яких вона приєднана. Робить вона це єдино можливим способом - забирає заряд від одного тіла і передає його іншому. Джерело ніколи не створює заряди, а тільки переміщує їх. Загальний заряд системи при цьому зберігається - це один з наріжних законів природи.
У джерелах різних конструкцій електричне поле, необхідне для переміщення зарядів, створюють різні «механізми». У батареях і акумуляторах - це електрохімічні реакції, в динамо-машину - електромагнітна індукція. Істотно, що для обраної системи зарядів (заряджених тіл) це поле - зовнішнє, стороннє. Коли через джерело з ЕРС від негативного полюса до позитивного протікає заряд Δq. сторонні сили здійснюють роботу
При цьому якщо Δq> 0, то Aбат> 0 - батарея розряджається; якщо ж Δq <0, то Aбат <0 — батарея заряжается и в ней накапливается химическая (или магнитная) энергия.
Нарешті, про виділення тепла. Зауважимо тільки, що це джоулево тепло, тобто тепло, пов'язане з протіканням струму через опір.
Тепер обговоримо кілька конкретних завдань.
Завдання 1. Два однакових плоских конденсатора ємністю C кожен приєднані до двох однаковим батареям з ЕРС. У якийсь момент один конденсатор відключають від батареї, а інший залишають приєднаним. Потім повільно розводять пластини обох конденсаторів, зменшуючи ємність кожного в n раз. Яка механічна робота здійснюється в кожному випадку?
Якщо процес зміни заряду на конденсаторі здійснюється весь час повільно, тепло виділятися не буде. Дійсно, якщо через резистор опором R протік заряд Δq за час t. то на резисторі за цей час виділиться кількість теплоти
При досить великих t кількість теплоти Q може виявитися як завгодно малим.
У першому випадку фіксований заряд на пластинах (батарея відключена), рівний Механічна робота визначається зміною енергії конденсатора:
У другому випадку фіксована різниця потенціалів на конденсаторі і працює батарея, тому
Через батарею протікає заряд
Цей заряд менше нуля, значить, батарея заряджається і її робота
Енергія поля в конденсаторі зменшується:
Зарядка батареї відбувається за рахунок роботи по розсовування пластин і за рахунок енергії конденсатора.
Зауважимо, що слова про раздвигание пластин істотної ролі не грають. Такий же результат буде при будь-яких інших змін, які призводять до зменшення ємності в n раз.
Завдання 2. У схемі, зображеної на малюнку, знайдіть кількість теплоти, що виділилася в кожному резисторі після замикання ключа. Конденсатор ємністю C1 заряджений до напруги U1. а конденсатор ємністю C2 - до напруги U2. Опору резисторів R1 і R2.
Закон збереження енергії (1) для даної системи має вигляд
Початкова енергія конденсаторів дорівнює
Для визначення енергії в кінцевому стані скористаємося тим, що сумарний заряд конденсаторів не може змінитися. Він дорівнює (для випадків, коли конденсатори були з'єднані однойменно або разноименно зарядженими пластинами відповідно). Після замикання ключа цим зарядом виявляється заряджений конденсатор ємністю C1 + C2 (конденсатори ємностями C1 і C2 з'єднані паралельно). Таким чином,
Як і повинно бути, в обох випадках виділяється тепло - є джоулева втрати. Чудово, що виділилася кількість теплоти не залежить від опору ланцюга - при малих опорах течуть великі струми і навпаки.
Тепер знайдемо, як кількість теплоти Q розподіляється між резисторами. Через опору R1 і R2 в кожен момент процесу перезарядки течуть однакові струми, значить, в кожен момент потужності, що виділяються на опорах, рівні
Крім того, . Тому остаточно
Завдання 3. У схемі на малюнку 2 конденсатор ємністю C заряджений до напруги U. Яка кількість хімічної енергії запасеться в акумуляторі з ЕРС після замикання ключа? Яка кількість теплоти виділиться в резисторі?
Початковий заряд на конденсаторі. Після закінчення перезарядки заряд на конденсаторі стане рівним. Протік через батарею заряд в разі, коли до мінуса батареї підключена негативно заряджена обкладка конденсатора, буде дорівнює
В іншому випадку і при цьому акумулятор буде розряджатися (Δq> 0). А в першому випадку при акумулятор заряджається (Δq <0), и количество химической энергии, запасенной в аккумуляторе после замыкания ключа, равно работе батареи:
Тепер запишемо закон збереження енергії (1) -
- і знайдемо виділилося кількість теплоти:
Завдання 4. Плоский конденсатор знаходиться в зовнішньому однорідному полі з напруженістю, перпендикулярної пластин. На пластинах площею S розподілені заряди + q і -q. Відстань між пластинами d. Яку мінімальну роботу треба зробити, щоб поміняти пластини місцями? Розташувати паралельно полю? Вийняти з поля?
Робота буде мінімальною, коли процес проводиться дуже повільно - при цьому не виділяється тепло. Тоді, відповідно до закону збереження енергії,
Щоб знайти ΔW. скористаємося формулою (3). Поле між пластинами є суперпозицію поля даного плоского конденсатора -
- і зовнішнього поля.
При зміні пластин місцями поле змінюється на -, а поле зовні не змінюється, т. Е. Зміна енергії системи пов'язано зі зміною її щільності між пластинами конденсатора:
Якщо напрями векторів і були однакові, то щільність енергії між пластинами зменшилася після зміни пластин місцями, а якщо напрямки були протилежні, то щільність енергії збільшилася. Таким чином, в першому випадку - конденсатор хоче сам розвернутися і його треба утримувати (A <0), а во втором случае
Коли пластини конденсатора розташовані паралельно полю і перпендикулярні один одному. Енергія поля всередині конденсатора в цьому випадку дорівнює. тоді
Коли конденсатор вийняли з поля, в тому місці, де він був, поле стало, а в ньому самому тепер поле, тобто ΔW і Amin виявляються такими ж, як і в попередньому випадку.
Завдання 5. Конденсатор ємністю С без діелектрика заряджений зарядом q. Яка кількість теплоти виділиться в конденсаторі, якщо його заповнити речовиною з діелектричною проникністю ε? Те ж, але конденсатор приєднано до батареї з ЕРС.
При заливанні діелектрика ємність конденсатора збільшилася в ε раз.
У першому випадку фіксований заряд на пластинах, зовнішніх сил немає, і закон збереження енергії (1) має вигляд
Тепло виділяється за рахунок зменшення енергії взаємодії зарядів.
У другому випадку є робота батареї і фіксоване напруга на конденсаторі:
Тоді з рівняння (1) випливає
Завдання 6. Дві з'єднані провідником пластини площею S кожна знаходяться на відстані d одна від одної (це відстань мало в порівнянні з розмірами пластин) в зовнішньому однорідному полі з напруженістю, перпендикулярної пластин (рис. 3). Яку роботу треба зробити, щоб зблизити їх до відстані d / 2?
Пластини еквіпотенційної, і між ними поля немає. Результатом роботи по зближенню є створення поля з напруженістю Е в обсязі. Тоді, відповідно до рівнянь (1) і (3),
1. Два однакових плоских конденсатора ємністю С кожен з'єднані паралельно і заряджені до напруги U. Пластини одного з конденсаторів повільно розводять на велику відстань. Яка при цьому відбувається робота?
2. Два конденсатора, кожен ємністю С. заряджені до напруги U і з'єднані через резистор (рис. 4). Пластини одного з конденсаторів швидко розсовують, так що відстань між ними збільшується вдвічі, а заряд на пластинах за час їх переміщення не змінюється. Яка кількість теплоти виділиться в резисторі?
3. Плоский повітряний конденсатор приєднано до батареї з ЕРС. Площа пластин S. відстань між ними d. В конденсаторі знаходиться металева плита товщиною d1. паралельна пластинам (рис. 5). Яку мінімальну роботу потрібно затратити, щоб видалити плиту з конденсатора?
4. Велика тонка провідна пластина площею S і товщиною d поміщена в однорідне електричне поле з напруженістю, перпендикулярній поверхні пластини. Яка кількість теплоти виділиться в пластині, якщо поле миттєво вимкнути? Яку мінімальну роботу треба зробити, щоб видалити пластину з поля?
5. Одна з пластин плоского конденсатора підвішена на пружині (рис. 6). Площа кожної пластини S. відстань між ними в початковий момент d. Конденсатор на короткий час підключили до батареї, і він зарядився до напруги U. Якою має бути мінімальна жорсткість пружини, щоб не відбулося торкання пластин? Зміщенням пластин за час зарядки знехтувати.
1. (весь заряд виявляється на конденсаторі, пластини якого не розсовували).
2. (в перший момент після розведення пластин замкнутими один на одного виявляються конденсатор ємністю С з напругою U і конденсатор ємністю С / 2 з напругою 2U).
3. (мінімальна робота по видаленню плити дорівнює різниці зміни енергії конденсатора і роботи батареї).
4. (відразу після виключення зовнішнього поля в пластині є поле поляризаційних зарядів, напруженість якого дорівнює Е \ видалення пластини з поля еквівалентно створенню поля з напруженістю Е в обсязі пластини).
5. (результат виходить із закону збереження енергії і з умови рівноваги пластини).