Лінійними операціями називаються операції додавання і віднімання векторів і множення вектора на число. Відзначимо, що для скалярних і векторних величин правила додавання і віднімання різні.
Розглянемо приклад (рис. 9.1, а). Для того щоб потрапити з точки А в деяку точку С, подорожній спочатку проходить шлях АВ. до якого 4 kм. потім шлях ВС. рівний 3 kм і потрапляє в пункт С; при цьому він проходить шлях, який обчислюється алгебраїчним складанням
Відстань між пунктами А і С можна вичіслітьпо теоремеПіфагора (рис. 9.1, а):
Визначимо шлях АВ вектором. де; шлях - вектором. де. Тоді шлях визначимо вектором. де (рис. 2.1, б). З рис. 9.1, б видно, що вектор з'єднує початок вектора з кінцем вектора. Трикутник АВС (рис. 9.1, б) називається векторним трикутником.
Вектор називається сумою векторів і. В цьому випадку пишуть:
У загальному випадку, при складанні двох векторів, прикладених в одну точку А, використовують так зване «правило паралелограма».
Приклад 9. 1. Задані два вектора і. тобто задані модулі векторів:. . а напрями векторів щодо осі показані на рис. 9.2, а. Скласти геометрично задані вектори.
Рішення. Паралельним переносом сумісний початок вектора з кінцем вектора (рис. 9.2, б). Вектор з'єднає початок вектора (точку) з кінцем вектора (точкою), отримаємо вектор. який є сумою векторів і:
Обчислимо модуль і напрямок отриманого геометрично вектора. Для цього обчислимо кут (рис. 9.2, б):
За формулою приведення маємо
Використовуючи теорему косинусів для. обчислимо модуль вектора (рис. 9.2, б):
Визначимо напрямок вектора щодо осі. т. е. обчислимо кут. Мал. 9.2, в.
Геометрія задачі (рис. 9.2, б).
Розглянемо. Кут. тоді