Функція називається диференційованою в точці, граничної для безлічі E. якщо її приріст # 916; f (x0), відповідне приросту аргументу x. може бути представлено у вигляді
Відображення, називається диференціалом функції f в точці x0. а величина A (x0) h - значенням диференціала в цій точці.
Для значення диференціала функції f прийнято позначення df або df (x0), якщо потрібно знати, в якій саме точці він обчислений. Таким чином,
Розділивши в (1) на x - x0 і спрямувавши x до x0. отримаємо A (x0) = f '(x0). Тому маємо
Зіставивши (1) і (2), бачимо, що значення диференціала df (x0) (при f '(x0) ≠ 0) є головна частина приросту функції f в точці x0. лінійна і однорідна в той же час щодо збільшення h = x - x0.
Критерій дифференцируемости функції
Для того щоб функція f була диференційованою в цій точці x0. необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.
Інваріантність форми першого диференціала
Якщо x - незалежна змінна, то dx = x - x0 (фіксований прирощення). У цьому випадку маємо
т. е. перший диференціал має властивість інваріантності щодо заміни аргументу.
рішення деяких завдань