Розглянемо вільно-зчленовану полімерну ланцюг, що складається з N сегментів. Будемо припускати, що окремі сегменти ланцюга не взаємодіють один з одним за допомогою інших сил, крім тих, які утворюють саму ланцюг.
Вектор RN, що з'єднує кінці цього ланцюга, описується простим виразом:
Тут i - порядковий номер сегмента ланцюга, - вектор, який з'єднує початок і кінець сегмента з номером i. Модулі всіх векторів однакові і рівні довжині одного сегмента l. Напрямки всіх векторів випадкові і незалежні один від одного. Тобто полімерна ланцюг являє собою клубок, який характеризується величиною величиною. рівній сумі великого числа випадкових доданків. Для виведення формули для характерного розміру полімерного клубка введемо величину. тобто вектор, що з'єднує початок першого сегмента ланцюга з кінцем сегмента з номером N-1:
Знайдемо тепер середня відстань між кінцями ланцюга. Врахуємо, що
оскільки всі напрямки в просторі різновірогідні. Обчислимо середній квадрат відстані:
В результаті отримаємо:
де гN - кут між векторами і. У разі вільно-зчленованою полімерного ланцюга орієнтація сегмента з номером N не залежить від орієнтації інших сегментів ланцюга. Отже, кут гN з однаковою ймовірністю приймає будь-яке значення, а середнє значення його косинуса дорівнює нулю. Таким чином, отримаємо:
За індукції можна зробити висновок, що
де L - контурна довжина ланцюга.
Чи правильна ця формула при інших модельних уявленнях про полімерного ланцюга?
Розглянемо, наприклад, червоподібну молекулу. Якщо розглянути короткий ділянку такої молекули, то на такій ділянці її гнучкість не проявляється, а молекула є жорсткою. Введемо поняття leff - це така довжина, ділянка менше якої є жорстким, а його довжина дорівнює контурної довжині. У той же час ділянки з контурній довжиною, більше ніж leff поводяться як послідовні сегменти вільно-зчленованою ланцюга. Величина leff ще називається сегмент Куна (по імені швейцарського вченого, вперше застосував статистичну механіку до полімерів). Якщо контурна довжина молекули дорівнює L, то очевидно, що ця молекула складається з Neff = L / leff сегментів Куна. Тоді для визначення розміру ланцюга можна записати:
Це рівність можна розглядати і як визначення сегмента Куна. Довжина сегмента Куна може варіювати від 1 нм до 100 нм для подвійної спіралі ДНК.
Розподіл Гаусса для ідеальної полімерного ланцюга
Через флуктуацій довжина полімерного ланцюга постійно змінюється. Для частки конформаций (тобто різних просторових конфігурацій) з даними R серед всіх можливих конформацій можна записати вираз
Щільність ймовірності для однієї компоненти дорівнює
Обидва ці вислови є розподілу Гаусса для R.