Під фінансовою математикою розуміються моделі і алгоритми фінансових розрахунків. Базова фінансова операція - кредитування. Суб'єкти ринку укладають угоду: кредитор видає позичальникові позику з умовою, що в установлений термін позичальник поверне кредитору позику з нарощенням (відсотками). Ситуація в найпростішому випадку, коли позика видана на рік, показана на рис.5.1.
S - позика з нарощенням (з відсотками);
i = = - річна ставка відсотка, в даному випадку ставка нарощення.
Звернемо увагу на некоректність назви величини I - «відсоток». Насправді I - це величина нарощення позики і вимірюється в грошових одиницях, а не у відсотках. Але така традиційна термінологія фінансових операцій: сума нарощення називається відсотком або відсотками.
Зазвичай при кредитуванні предметом договору є величина позики P і річна процентна ставка i. а позика з нарощенням S є функцією P і i. Висловимо S через P і i. S = P (1 + i). Наведена формула для S справедлива тільки при річному терміні позички. Для будь-якого іншого терміну в формулу потрібно ввести час. Традиційно в фінансових розрахунках час вимірюється в роках, а процентна ставка береться річна, хоча можливі й інші вимірювачі часу - квартал, місяць, день, на які може встановлюватися ставка. Всі ці умови обумовлюються в договорі про надання кредиту. Позика може видаватися на будь-який термін, з будь-якої дати, по будь-яку дату. Перший і останній дні зазвичай вважаються за один день. У різних країнах і навіть в різних банках однієї країни термін позики в роках обчислюється по-різному.
t - термін позики в днях;
T - кількість днів в році;
Величини t і T можуть визначатися точно за календарем, або наближено (округлено). В останньому випадку приймається, що рік складається з 12 місяців по 30 днів в кожному з них. Перший спосіб позначається (365/365), а другий - (360/360). Можливі й перехресні способи. У будь-якому випадку при отриманні позики потрібно попередньо переконатися, яким способом визначається термін позики, тому що від цього залежить величина відсотків.
Величина відсотків залежить від величини позики, процентної ставки і терміну позики. Розрізняють прості і складні відсотки. Простими називають відсотки, які є лінійною функцією від часу. Складні відсотки є показовою функцією від часу, де час входить в показник ступеня.
5.1. прості відсотки
Вище була наведена формула нарощення для випадку, коли позика видана точно на рік: S = P (1 + i). Виведемо формулу нарощення для довільного терміну позики, виміряного в роках (ріс.5.1.1).
S1 = P (1 + i) = P + Pi = P + I1.
Застосуємо метод індукції.
Видно, що відсотки є лінійною функцією часу.
Формули для обчислення Sn і In були вище написані для цілого числа років n. Очевидно, що вони справедливі і для дрібних значень n як менше, так і більше 1. Напр. потрібно обчислити відсотки за місяць по наближеному методу (360/360). Тоді n = і Iмес. = Pi / 12. Відповідно відсотки за день за методом (360/360) рівні Pi / 360. У всіх формулах i - річна ставка відсотка.
При значних термінах позики іноді застосовують змінну ставку - напр. коли передбачають зміну темпу інфляції в майбутньому. Виведемо формулу для нарощеної позики для цього випадку.
t = 1. m - номери тимчасових інтервалів з різними процентними ставками;
nt - тривалість t -го інтервалу в роках;
it - річна ставка нарощення в t -му інтервалі.
Повернення позики по частинах
Повернення позики з відсотками може здійснюватися один раз в кінці терміну позики, або частинами протягом цього терміну. В останньому випадку необхідно розраховувати величину останнього платежу. Для цього використовують два методи: актуарний і торговця.
На рис. 5.1.2 зображена схема розрахунків з актуарних методу, який зазвичай застосовується при термінах позики понад рік.
t = 1. m - номери платежів;
nt - термін t -го платежу в роках від моменту отримання позики;
i - річна ставка нарощення;
St - сума боргу, накопичена до t -му платежу;
Pt - залишок боргу після t -го платежу.
Формули для обчислень:
У будь-який момент накопичений борг складається з двох частин: залишилася не відшкодована частина позики Р і накопичені і непогашені відсотки. Якщо черговий платіж менше накопичених і непогашених відсотків, то зменшення суми боргу не здійснюється, а сума платежу приєднується до наступного платежу.
На рис 5.1.3 показана схема розрахунків за методом торговця, який зазвичай застосовується при терміні позички менше року.
t = 1. m - номери проміжних платежів;
Rt - величина t -го проміжного платежу;
nt - термін t -го проміжного платежу;
R - заключний платіж.
Ідея методу торговця полягає в наступному. Нехай в термін nt здійснено проміжний платіж Rt. На час, що залишився до кінця терміну позики час, що дорівнює (n - nt), нараховуються відсотки, і до кінця терміну позики сума проміжного платежу з відсотками складе:
Якщо таких платежів було m. то до кінця терміну позики накопичиться сума платежів з відсотками.
Очевидно, що заключний платіж R повинен доповнювати накопичену суму платежів з відсотками до величини позики з накопиченими за позикою відсотками.
Замінивши S і на їх значення, отримаємо
Звідси отримаємо величину заключного платежу:
Порівняємо ідеї двох розглянутих методів проміжних платежів за позикою. У актуарному методі кожен платіж зменшує суму боргу, відсотки продовжують нараховувати на решту боргу. У методі торговця кожен платіж не применшує суми боргу, але на нього нараховуються відсотки. В кінці терміну позики при заключному платежі сума накопиченого боргу і сума накопичених платежів повинні зрівнятися.
До сих пір розглядалася процедура нарощення: видана позичка Р з плином часу нарощувався відсотками і перетворювалася в позику з відсотками S. Ставка нарощення визначалася ставленням відсотків за рік I до позичку Р. В банківській справі застосовується також процедура дисконтування (обліку), яка з'явилася з операції обліку векселів. Вексель - зобов'язання повернути зазначену у векселі суму (номінал векселя, позначимо його S), в зазначений термін. Якщо власник векселя (його власник в даний момент) бажає обміняти вексель на гроші, він звертається в банк з пропозицією врахувати наявний у нього вексель, тобто купити його за суму Р. меншу, ніж номінал S. Така угода називається дисконтуванням, а сума знижки з номіналу - дисконтом. Схема розрахунків з дисконтування показана на ріс.5.1.4 для випадку, коли до терміну оплати векселя векселедавцем (тобто тим, хто його видав) залишився рік.
S - номінал векселя;
1 рік - термін дії векселя;
D - дисконт, тобто знижка з номіналу при обліку векселя;
Р - ціна векселя, тобто сума грошей, яку отримає продавець векселя при його обліку.
Легко помітити, що схема дисконтування дуже схожа на схему нарощення (рис.5.1). Величини Р і S. D і I збігаються. Різниця полягає в тому, що в схемі нарощення в основу розрахунків покладено видається позика Р, а обчислюється повертається позичка з відсотками S. при дисконтуванні ж в основу покладено номінал векселя S (тобто сума повернення), а розраховується сума грошей Р. яку отримає продавець векселя.
Позначимо: d - облікова ставка,
Ще одна відмінність процедур обліку і нарощення. При нарощенні ставка i вважається на величину позики Р. а при дисконтуванні облікова ставка d вважається на номінал векселя S.
Очевидно, що при однакових величинах S і Р облікова ставка буде менше ставки нарощення. Запишемо формулу розрахунку Р при відомих S і d.
Ця формула справедлива при річному терміні векселя. Нехай термін дії векселя n років, де n - невід'ємне число, в тому числі дробове. Формула для розрахунку Р набуде вигляду: P = S (1 - nd). Видно, що n і d можуть бути такими, що може виявитися nd> 1 і Р стане менше нуля. Це, звичайно ж, неможливо: ніхто не погодиться віддати вексель, та ще сплатити за це суму, рівну S (nd -1). Тому дисконтування застосовують так, щоб було 1> nd> 0.
Номінальна і реальна ставки відсотка
Нехай позика P видана під ставку відсотка i на рік. Через рік потрібно повернути цю позику з відсотками S = P (1 + i). Якщо має місце інфляція з темпом j. то за рік величина S знеціниться.
S н - номінальна позика з відсотками;
S р - реальна позика з відсотками, тобто купівельна спроможність S н;
r - реальна ставка відсотка;
i - номінальна ставка відсотка;
j - темп інфляції.
З урахуванням прийнятих позначень, формули нарощення візьмуть вигляд:
Останню формулу потрібно розуміти так: позика Р за рік реально зросла за ставкою r і за рахунок інфляції за темпом інфляції j. Замість S н підставимо її значення:
P (1 + i) = P (1 + r) (1 + j) або (1 + i) = (1 + r) (1 + j)
Провівши перетворення, отримаємо:
Це точна формула розрахунку реальної ставки відсотка по відомим величинам номінальної ставки відсотка і темпу інфляції. При низьких темпах інфляції застосовують наближену формулу r = i-j. При значної інфляції потрібно застосовувати точну формулу.
Під конверсією валюти розуміється переклад фінансових активів з однієї валюти в іншу, - напр. переклад рублів в долари або навпаки. У банку можна зберігати гроші на рублевому або валютному вкладі. Що вигідніше? Зазвичай, процентні ставки по карбованцевих рахунках вище, ніж по валютних. Це пов'язано з тим, що рублі знецінюються в зв'язку з інфляцією швидше, ніж долари, євро та ін. Відповідь на питання, в якій валюті вигідніше зберігати гроші в банку, залежить від процентних ставок по рублевому і валютному вкладами, а також від темпу зміни курсу національної валюти. Схема розрахунків показана на рис. 5.1.5.
Вся операція розрахована на рік. А, В, С, D - різні стани під час операції.
Стрілка АВ - зберігання грошей на рублевому внесок.
АС - конверсія рублів в долари, тобто продаж банком доларів вкладникові.
CD - зберігання грошей на валютному вкладі.
DB - конверсія доларів в рублі.
Р - сума вкладу в доларах.
SP - рублева сума вкладу з нарощенням (з відсотками) через рік.
S - доларовий внесок з відсотками через рік.
i - річна ставка відсотка по рублевому вкладом.
v - річна ставка відсотка по валютним вкладом.
bпр - курс продажу на момент вкладу, тобто ціна за якою банк продає долари за рублі.
bпок - курс покупки через рік, тобто ціна. по якій банк купує долари.
На стрілках показані формули для розрахунку результатів операцій.
SP = PP (1 + i) - результат зберігання грошей на рублевому внесок протягом року.
- результат первісної конверсії рублів в долари за курсом bпр.
Sд = Рд (1 + v) - результат зберігання грошей на валютному вкладі протягом року.
Визначимо умови еквівалентності зберігання грошей на рублевому і валютному вкладі: в цьому випадку результат зберігання повинен бути однаковим.
5.2. складні відсотки
Якщо позика видана на деякий термін і відсотки нараховуються один раз в кінці цього терміну, то прості і складні відсотки не розрізняються, нарощена позика буде однією і тією ж. Ефект складних відсотків виникає тоді, коли термін позики розбитий на кілька інтервалів, в кінці кожного інтервалу нараховуються відсотки і приєднуються до суми, накопиченої на початок інтервалу.
Прості відсотки нараховуються на початкову величину позики, складні - на позичку з нарощенням на момент нарахування відсотків. На рис 5.2.1 показана схема нарахування відсотків, коли позика видана на ціле число років, а складні відсотки нараховуються раз на рік.
j - річна ставка складних відсотків;
Sn - нарощена позика в кінці року n;
Формула виведена для цілого n. але вона справедлива для будь-якого нейтрально дійсного числа n. Напр. за півроку. а за квартал.
У банківській практиці нарахування складних відсотків по депозитах проводиться кілька разів на рік - за місяць, квартал, півріччя. При цьому за ставкою за інтервал потрібно обчислювати річну прибутковість і навпаки, - за річною ставкою відсотка визначати еквівалентну за доходом ставку на інтервал менше року. Схема розрахунків показана на рис. 5.2.2.
m - число інтервалів в році;
t - номер інтервалу;
St - позика з нарощенням в кінці інтервалу t;
j - річна ефективність позики;
g - ставка складних відсотків на інтервал.
Щоб ставки j і g були равноеффектівно, необхідно, щоб виконувалося рівність:
P (1 + j) = P (1 + g) m;
Звідси за ставкою відсотка за інтервал можна обчислити равноеффектівно ставку за рік.
І навпаки, - за річною ставкою відсотка можна обчислити равноеффектівно ставку складних відсотків за інтервал.