Для отримання рівнянь, що описують фазовий портрет системи другого порядку, необхідно в системі диференціальних рівнянь (12.6) друге рівняння поділити на перше і виключити з розгляду час t, в результаті чого отримують:
Рішення цього рівняння дає сімейство інтегральних кривих на фазової площині, за якими будують фазові траєкторії системи.
Фазові портрети лінійних систем другого порядку класифікують за типами особливих точок.
Лінійну систему другого порядку описують рівнянням
де y (t) - вихідна координата системи; а0. а1, a2 - постійні коефіцієнти. Позначивши y (t) = y1 (t),, тоді і рівняння (13.1) можна записати
Розділивши друге рівняння на перше, отримують
рішенням якого буде рівняння фазових траєкторій
де сi - постійні інтегрування.
Можливі шість різних типів фазових траєкторій в залежності від коренів характеристичного рівняння a2s 2 + a1s + a0 = 0.
Система знаходиться на межі стійкості.
Графік y1 (t) показаний на рис. 13.1. Для отримання рівняння фазової траєкторії вираження (13.8) і (13.9) зводять у квадрат і складають, в результаті отримують рівняння
Незатухающим періодичних коливань в системі відповідає на фазової площині замкнута фазова траєкторія. Особлива точка системи є не географічним центром фазових траєкторій і носить назву центр, а сама система називається консервативною.
Мал. 13.1. Фазовий портрет типу центр: а) площину коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет
Рішення рівняння (13.4) має вигляд
Мал. 13.2. Фазовий портрет типу стійкий фокус: а) розташування коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет
Рівняння (13.11) і (13.12) дають в фазовій площині параметричне рівняння спіралей. З кожним оборотом, що відповідає одному періоду коливань, що зображає точка наближається до початку координат, так як значення y1 і y2 за період коливань стають менше.
Особлива точка називається стійким фокусом.
Мал. 13.3 Фазовий портрет типу нестійкий фокус: а) розташування коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет
Станом нестійкої рівноваги системи відповідає особлива точка, яка називається нестійкий фокус (рис. 13.3в). В системі виникає коливальний процес зі зростаючою амплітудою.
Випадок 4. Коріння - речові негативні при а1> 4а0a2; a0> 0, a1> 0, а 2> 0: s1, 2 = - # 945; ± b (рис. 13.4а), # 945; = A1 / (2А2), - система стійка. Цей випадок відповідає апериодическим процесу в системі, сама система стійка. Рішення рівняння (13.14)
Кордоном областей з перехідними процесами типу 1 і 2 служать прямі з рівняннями y2 = -s2y1 і y2 = -s1y1.
Всі фазові траєкторії вливаються в початок координат - особливу точку, звану стійким вузлом (рис. 13.4). Час руху до стану рівноваги теоретично дорівнює нескінченності.
Мал. 13.4. Фазовий портрет типу стійкий вузол: а) розташування коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет
Мал. 13.5. Фазовий портрет типу нестійкий вузол: а) розташування коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет
Фазові траєкторії спрямовані від початку координат в нескінченність. Особлива точка зветься нестійкий вузол (рис. 13.5). Крайні траєкторії визначаються рівняннями y2 = s1y1 і y2 = s2y1.
Приватним є випадок, коли a1 = 0, і, з огляду на, що a0 <0, решение уравнения (13.6) запишется в виде
Вираз (13.19) являє собою рівняння сімейства рівносторонніх гіпербол. Асимптоти гіпербол: y2 = ± wу1. Кожна з асимптот складається з трьох фазових траєкторій, тобто особлива точка розглядається як одна з фазових траєкторій і носить назву сідла.
Асимптоти на фазової площині називають сепаратріси сідла (рис. 13.6). По двох сепаратріси зображає точка наближається до стану рівноваги, а по двох інших віддаляється від нього.
Сідло є нестійким станом рівноваги. Обурення призводять до того, що зображає точка йде від стану рівноваги і, потрапивши на сусідню траєкторію, необмежено віддалятися по ній.
Мал. 13.6. Фазовий портрет типу сідло: а) розташування коренів
характеристичного рівняння; б) перехідний процес; в) фазовий портрет