Even as the finite encloses an infinite series
And in the unlimited limits appear,
So the soul of immensity dwells in minutia
And in the narrowest limits no limit in here.
What joy to discern the minute in infinity!
The vast to perceive in the small, what divinity!
Як в кінцевому містяться нескінченні ряди,
Як безмежне раптом виявляється обмеженим,
Так дух неосяжності мешкає в дрібницях
І в найтісніших межах таїться безмежність.
Яка радість зуміти розрізнити найдрібніші в нескінченності!
Як божественно побачити нескінченність в малому!
Якоб Бернуллі. «Мистецтво припущень»
Епітафія і спіраль на гробниці Якоба Бернуллі
У 1692 році у Якоба Бернуллі виявилися перші ознаки туберкульозу, від якого він і помер в 1705 році. На честь Якоба і Йоганн Бернуллі названий кратер на Місяці.
Він вивчив теорію ймовірностей по книзі Гюйгенса «Про розрахунки в азартній грі», в якій ще не було визначення та поняття ймовірності (її замінює кількість сприятливих випадків). Якоб Бернуллі ввів значну частину сучасних понять теорії ймовірностей і сформулював перший варіант закону великих чисел. Якоб Бернуллі підготував монографію в цій області, проте видати її не встиг. Вона була надрукована посмертно, в 1713 році, його братом Миколою, під назвою «Мистецтво припущень» (Ars conjectandi). Це змістовний трактат з теорії ймовірностей, статистики та їх практичного застосування, підсумок комбінаторики і теорії ймовірностей XVII століття. Ім'я Якоба носить важливе в теорії ймовірностей розподіл Бернуллі.
Якоб Бернуллі видав також роботи з різних питань арифметики, алгебри, геометрії і фізики.
розподіл Бернуллі
Думаю, немає жодного студента, що прослухав курс теорії ймовірностей, яка б не знала, що таке розподіл Бернуллі.
Розподіл Бернуллі в теорії ймовірностей і математичній статистиці - дискретний розподіл ймовірностей, що моделює випадковий експеримент довільної природи, при заздалегідь відомої ймовірності успіху або невдачі.
Випадкова величина X має розподіл Бернуллі, якщо вона приймає лише два значення: 1 і 0 з імовірностями p і q = 1-p відповідно. Таким чином:
P (X = 1) = p,
P (X = 0) = q.
Прийнято говорити, що подія X = 1 відповідає «успіху», а X = 0 «невдачі». Ці назви умовні, і в залежності від конкретного завдання можуть бути замінені на протилежні.
Моменти розподілу Бернуллі
E [X] = p,
D [X] = pq.
Взагалі, легко бачити, що
E [X ^ n] = p, для будь-якої натуральної ступеня n.
числа Бернуллі
Числа Бернуллі - послідовність раціональних чисел `B_0, B_1, B_2. `, Вперше розглянута Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми послідовних натуральних чисел, зведених в одну і ту ж ступінь:
де - біноміальний коефіцієнт.
властивості
- Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім `B_1`, дорівнюють нулю, а знаки чисел Бернуллі з парними номерами чергуються.
- Числа Бернуллі є значеннями многочленів Бернуллі `B_n (x)` при `x = 0`:` B_n = B_n (0) `.
Числа Бернуллі часто входять в коефіцієнти розкладання елементарних функцій в степеневий ряд.
Написана в 1713 р
лемніската
Лемніската (від лат. Lemniscatus - «прикрашений стрічками») - плоска крива алгебри порядку 2n, у якій твір відстаней від кожної точки до n заданих точок (фокусів) постійно.
Лемніскати з трьома фіксованими фокусами
приклади
- Лемніската з одним фокусом (n = 1) є коло радіуса r, а з двома фокусами - овал Кассіні.
- Окремим випадком овалу Кассіні є лемніската Бернуллі, на ім'я швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок вивченню лемніската.
Лемніската - плоска крива алгебри. Визначається як геометричне місце точок, твір відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.
Лемніската за формою нагадує вісімку або символ нескінченності. Точка, в якій лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.
Лемніската і її фокуси
Щільність точок кривої при рівномірному зміні параметра
Гравітаційне властивість лемніскати
Матеріальна точка, що рухається по лемніската під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що і відповідну хорду (див. Малюнок). Передбачається, що вісь лемніскати становить кут 45 o з вектором напруженості поля, а центр лемніскати збігається з вихідним положенням рухається точки.
Побудова лемніскати за допомогою січних
Шарнірні методи побудови
шарнірний метод