Електронний підручник з геометрії
Глава 11. Вивчення поверхонь другого порядку по канонічним рівнянням
Визначення. Загальний випадок еліпсоїда обертання (див. Глава 11. § 103 (1)). Поверхня другого порядку, що задається прямокутної декартової системі координат рівнянням
називається еліпсоїдом (рис.1).
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда.
Позитивні числа a. b. c називаються півосями еліпсоїда. Якщо. то еліпсоїд називається тривісним. Так як в рівнянні еліпсоїда x. y. z входять тільки в парних ступенях, то, еліпсоїд симетричний щодо координатних площин, початку координат і осей координат. Центр симетрії еліпсоїда називається його центром. а осі симетрії - його осями. Кожна з осей перетинає еліпсоїд в двох точках, які називаються його вершинами. У трехосного еліпсоїда шість вершин: (a. 0, 0), (- a. 0, 0), (0, b. 0), (0, - b. 0), (0, 0, c), (0 , 0, - c). Еліпсоїд лежить всередині прямокутного паралелепіпеда. Тому всі плоскі перетину еліпсоїда є обмеженими кривими другого порядку, тобто еліпсами.
Досліджуємо еліпсоїд методом перетинів. Якщо еліпсоїд, заданий рівнянням (1) в прямокутній системі координат. перетнути площиною z = h. то проекція перетину на площину в системі координат має рівняння
Можливі наступні три випадки.
1). В цьому випадку в перерізі ми отримаємо еліпс, центр якого лежить на осі. Справді, проекція перетину на площину має рівняння
Це рівняння визначає еліпс з півосями При зменшенні піввісь зростають, і при = 0 маємо:. Отже, площина перетинає еліпсоїд (1) по еліпсу
2). Рівняння (2) набуває вигляду. . Крива на площині являє собою дві уявні прямі,
пересічні в речовій точці (0, 0). Площина z = h має з еліпсоїдом лише одну спільну точку - вершину еліпсоїда.
3). Рівняння (10) є рівняння мнимого еліпса. Площина z = h не має з еліпсоїдом спільних точок.
Аналогічно, перетин еліпсоїда площиною x = h або y = h є еліпсом, вершиною еліпсоїда або порожнім безліччю.
При а = b = з еліпсоїд є сферою.
Зауваження. Будь тривісний еліпсоїд може бути отриманий шляхом стиснення простору уздовж однієї (двох) осей координат з еліпсоїда обертання.