Будь-яке раціональне число можна представити у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Складати позитивні звичайні дроби ви вже вмієте. А правила складання негативних раціональних чисел і раціональних чисел різних знаків такі ж, як і для цілих чисел. Щоб скласти два числа однакових знаків, треба скласти їх модулі і перед сумою поставити знак цих доданків. Щоб скласти два числа різних знаків і з різними модулями, треба з більшого модуля відняти менший і поставити перед результатом знак доданка з великим модулем. Сума двох чисел різних знаків, але з однаковими модулями (протилежних чисел) дорівнює $$ 0 $$. Приклад 1: Знайти суму $$ (- 78) + (- 32) $$.
Обидва доданків - негативні числа. Значить, сума теж буде негативною (зі знаком «$$ - $$»). Модуль негативного числа дорівнює протилежного числу (щоб його знайти, треба просто прибрати знак «$$ - $$»). $$ \ vert -78 \ vert = 78, \; \ Vert -32 \ vert = 32 $$ Тому нам треба скласти числа $$ 78 $$ і $$ 32 $$ і перед результатом поставити знак «$$ - $$». $$$ 78 + 32 = 11 $$$ Тепер перед цією сумою поставимо знак «$$ - $$» і отримаємо остаточний результат: $$$ (- 78) + (- 32) = - 11 $$$ Цю послідовність дій можна було записати одним рядком: $$$ (- 78) + (- 32) = - \ left (\ vert -78 \ vert + \ vert -32 \ vert \ right) = - (78 + 32) = - 11 $$ $ Відповідь: $$ - 11 $$
Приклад 2: Знайти суму $$ \ left (+ \ dfrac4 \ right) + (- 33) $$.
Складові мають різні знаки. Отже, спочатку треба знайти і порівняти їх модулі. З модуля більшого числа відняти модуль меншого і поставити перед результатом знак числа з великим модулем. $$$ \ left \ vert + \ dfrac4 \ right \ vert = \ dfrac4, \; \; \ Vert -33 \ vert = 33 $$$ Порівняємо $$ \ dfrac4 $$ і $$ 33 $$. Для цього треба привести ці дроби до однакового виду. Тут зручно приводити до виду десяткових дробів: $$ \ dfrac4 = 325 $$.
Так як $$ 325 45 $$$ Отже, $$$ \ dfrac> 45 $$$ Значить, з модуля другого доданка (так як з'ясували, що він більше) будемо віднімати модуль першого і потім поставимо перед різницею знак другого доданка - "плюс ". $$$ \ left \ vert + \ dfrac \ right \ vert - \ left \ vert-45 \ right \ vert = \ dfrac-45 = \ dfrac ^ - \ dfrac ^ = \ dfrac- \ dfrac = \ dfrac = \ dfrac $$$ $$$ \ left (-45 \ right) + (+ \ dfrac) = + \ dfrac $$$ Відповідь: $$ \ dfrac $$
Закони додавання раціональних чисел
Для будь-яких раціональних чисел $$ a $$ і $$ b $$ виконується переместітельний закон складання. Сума двох раціональних чисел $$ a $$ і $$ b $$ не зміниться від перестановки доданків:
$$ a + b = b + a $$. Для будь-яких раціональних чисел $$ a $$, $$ b $$ і $$ c $$ виконується сполучний закон додавання. Щоб до суми двох раціональних чисел додався третій раціональне число, можна до першого числа додати суму другого і третього. Результат буде той же:
$$ (a + b) + c = a + (b + c) $$. Оскільки всі цілі числа є також раціональними, то ці закони вірні і для цілих чисел.
За допомогою цих законів можна вивести наступні властивості суми декількох раціональних чисел:
1) суму декількох раціональних чисел можна записувати без дужок;
2) будь-які складові в ній можна міняти місцями;
3) деякі складові в ній можна зробити висновок в дужки.
Із застосуванням цих законів обчислення деяких сум стають простіше.
Приклад 4: Знайдемо суму $$ - 1207 + (- 2) +5 + (- 4) + 1207 + 11 + (- 8) $$.
Переміщаючи складові і розставляючи дужки, об'єднаємо складові в три групи. В першу групу включимо два протилежних числа, в другу - всі залишилися позитивні числа, а третю все решта негативні числа. $$$ (- 1207 + 1207) + (5 + 11) + (- 2 + (- 4) + (- 8)) = 0 + 16 + (- 14) = 2 $$$ Відповідь: $$ 2 $$