Одним з найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини.
Випадкової називають величину. приймаючу в результаті випробувань ті чи інші можливі значення, наперед невідомі і залежать від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X. Y. Z і т. Д. Або великими літерами латинського алфавіту з правим нижнім індексом. а значення, які можуть приймати випадкові величини - відповідними малими літерами латинського алфавіту x. y. z і т. д.
Поняття випадкової величини тісно пов'язане з поняттям випадкової події. Зв'язок з випадковою подією полягає в тому, що прийняття випадковою величиною деякого числового значення є випадкова подія, що характеризується ймовірністю.
На практиці зустрічаються два основних типи випадкових величин:
1. Дискретні випадкові величини;
2. Безперервні випадкові величини.
Випадковою величиною називається числова функція від випадкових подій.
Наприклад, випадковою величиною є число очок, що випали при киданні гральної кістки, або зростання випадково обраного з навчальної групи студента.
Дискретними випадковими величинами називаються випадкові величини, що приймають тільки віддалені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу (функція розподілу і ряд розподілу або щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань досить знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення і можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Розглянемо основні числові характеристики дискретних випадкових величин.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.
Закон розподілу випадкової величини може бути представлений у вигляді таблиці:
Сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці, тобто. Е..
Закон розподілу можна зобразити графічно. по осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат - імовірності цих значень; отримані точки з'єднують відрізками. Побудована ламана називається багатокутником розподілу.
Приклад. Мисливець, який має 4 патрона, стріляє по дичини до першого попадання або витрачання всіх патронів. Ймовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,7, при кожному наступному пострілі зменшується на 0,1. Скласти закон розподілу числа патронів, витрачених мисливцем.
Рішення. Так як мисливець, маючи 4 патрона, може зробити чотири постріли, то випадкова величина X - число патронів, витрачених мисливцем, може приймати значення 1, 2, 3, 4. Для знаходження відповідної ним вірогідності введемо події:
- "Попадання при i - му пострілі",;
- "Промах при i - му пострілі", причому події і - попарно незалежні.
Згідно з умовою задачі маємо:
По теоремі множення для незалежних подій і теоремі додавання для несумісних подій, знаходимо:
(Мисливець влучив у ціль з першого пострілу);
(Мисливець влучив у ціль з другого пострілу);
(Мисливець влучив у ціль з третього пострілу);
(Мисливець влучив у ціль з четвертого пострілу або промахнувся всі чотири рази).
Таким чином, закон розподілу випадкової величини X має вигляд:
Приклад. Робочий обслуговує три верстата. Імовірність того, що протягом години перший верстат не зажадає регулювання - 0,9, другий - 0,8, третій - 0,7. Скласти закон розподілу числа верстатів, які протягом години зажадають регулювання.
Рішення. Випадкова величина X - число верстатів, які протягом години зажадають регулювання, може приймати значення 0,1, 2, 3. Для знаходження відповідної ним вірогідності введемо події:
- "I - ий верстат протягом години зажадає регулювання",;
- "I - ий верстат протягом години не зажадає регулювання",.
За умовою завдання маємо:
Верстати працюють незалежно один від одного, т. Е. І - незалежні події.
Користуючись теоремою множення для незалежних подій і теоремою складання для несумісних подій, знаходимо:
Закон розподілу випадкової величини X має вигляд:
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
визначає для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, меншого цього x.
Властивості функції розподілу:
2. F (x) - неубутна функція, тобто
3. Імовірність того, що випадкова величина прийме значення, укладену в інтервалі [а, b):
4. Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a, b), то