Циліндр, конус, куля
Циліндр - тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома колами з межами $ М $ і $ М_1 $. Циліндрична поверхня називається бічною поверхнею циліндра, а кола - підставами циліндра.
Утворюють циліндричної поверхні називаються утворюють циліндра, на малюнку утворює $ L $.
Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні підставах. Осьовий переріз циліндра - це прямокутник, у якого одна сторона дорівнює діаметру підстави, а друга - висоті циліндра.
Основні поняття і властивості циліндра:
- Підстави циліндра рівні і лежать в паралельних площинах.
- Все що утворюють циліндра паралельні і рівні.
- Радіусом циліндра називається радіус його заснування ($ R $).
- Висотою циліндра називається відстань між площинами підстав (в прямому циліндрі висота дорівнює утворює).
- Віссю циліндра називається відрізок, що сполучає центри основ ($ ОО_1 $).
- Якщо радіус або діаметр циліндра збільшити в n раз, то обсяг циліндра збільшиться в $ n ^ 2 $ раз.
- Якщо висоту циліндра збільшити в m раз, то обсяг циліндра збільшиться в той же кількість разів.
- Якщо призму вписати в циліндр, то її підставами будуть рівні багатокутники, вписані в основу циліндра, а бічні ребра - утворюють циліндра.
- Якщо циліндр вписаний в призму, то її заснування - рівні багатокутники, описані навколо основ циліндра. Площині граней призми стосуються бічній поверхні циліндра.
- Якщо в циліндр вписана сфера, то радіус сфери дорівнює радіусу циліндра і дорівнює половині висоти циліндра.
Площа поверхні та об'єм циліндра.
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола підстави на висоту.
Площа поверхні циліндра дорівнює сумі двох площ підстав і площі бічної поверхні.
Обсяг циліндра дорівнює добутку площі підстави на висоту.
Обсяг частини циліндра, в основі якого лежить сектор: $ V = / $, де $ n ° $ - це градусна міра центрального кута, що відтинає заданий сектор.
Циліндр описаний близько кулі. Обсяг циліндра дорівнює $ 30 $. Знайдіть об'єм кулі.
Якщо в циліндр вписано кулю, то радіус циліндра дорівнює радіусу кулі, а висота циліндра в два рази більший за радіус кулі.
Розпишемо формули обсягу циліндра і кулі.
Далі треба порівняти у скільки разів обсяг циліндра більше обсягу кулі, для цього розділимо обсяги друг на друга.
Обсяг циліндра більше обсягу кулі в $ 1.5 $ рази, отже, щоб знайти об'єм кулі, треба обсяг циліндра розділити на $ 1.5 $.
Конусом (круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга, точки, що не лежить в площині цього кола, і всіх відрізків, що з'єднують задану точку з точками кола.
Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними і позначаються (l).
Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. Ось прямого конуса і його висота рівні.
$ SО $ - висота і вісь конуса.
- Все що утворюють конуса дорівнюють.
- Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює двом радіусів, а бічні сторони рівні створює конуса.
- Якщо бокова поверхня конуса - півколо, то осьовим перерізом є рівносторонній трикутник, кут при вершині дорівнює $ 60 ° $.
- Якщо радіус або діаметр конуса збільшити в n раз, то його обсяг збільшиться в $ n ^ 2 $ раз.
- Якщо висоту конуса збільшити в m раз, то обсяг конуса збільшиться в той же кількість разів.
Площа поверхні та об'єм конуса.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини окружності підстави на творчу.
Площа поверхні конуса дорівнює сумі площі підстави і площі бічної поверхні.
Обсяг конуса дорівнює третині добутку площі підстави на висоту.
Обсяг частині конуса, в основі якого лежить сектор: $ V = / $, де $ n ° $ - це градусна міра центрального кута, що відтинає заданий сектор.
Сферою називається поверхню, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані ($ R $) від даної точки (центра сфери $ Про $).
Тіло, обмежене сферою, називається кулею.
Осьовий переріз кулі це коло, радіус якого дорівнює радіусу кулі. Осьовим перерізом є найбільший коло кулі.
Площа поверхні сфери: $ S_ = 4π · R ^ 2 = π · d ^ 2 $, де $ R $ - радіус сфери, $ d $ - діаметр сфери
Обсяг кулі: $ V = / = / $, де $ R $ - радіус кулі, $ d $ - діаметр кулі.
Якщо радіус або діаметр кулі збільшити в n раз, то площа поверхні збільшиться в $ n ^ 2 $ раз, а обсяг в $ n ^ 3 $ раз.
теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику:
У прямокутному трикутнику $ АВС $, з прямим кутом $ З $:
Для гострого кута $ В: АС $ - протилежний катет; $ ВС $ - прилегла катет.
Для гострого кута $ А: ВС $ - протилежний катет; $ АС $ - прилегла катет.
- Синусом ($ sin $) гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
- Косинусом ($ cos $) гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
- Тангенсом ($ tg $) гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів:
Ознаки подібності трикутників:
- Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
- Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, укладені між ними рівні, то такі трикутники подібні.
- Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Периметри подібних трикутників і їх лінійні величини (медіани, бісектриси, висоти) ставляться один до одного як коефіцієнт подібності $ k $. Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Побудувати свій план
всього за 3 хвилини
Як підготуватися до ЄДІ з математики (профільної)?
Почни онлайн-курс ЄДІ з математики (профільної) прямо зараз
