У попередній статті ми розглянули структуру і характеристики каскадних інтегрально-гребінчастих фільтрів Хогенауера (cascaded integral-comb filters). Були отримані вирази для частотних характеристик CIC фільтрів і показано, що CIC фільтри являють собою фільтри нижніх частот, причому перший нуль частотної характеристики залежить від затримки гребенчатого фільтра, а придушення в смузі загородження залежить від порядку фільтра (тобто кількості каскадно включених інтеграторів та гребінчастих фільтрів). У даній статті ми розглянемо застосування CIC фільтрів для цифрової децимації і інтерполяції сигналів.
Для початку згадаємо, що частотна характеристика CIC фільтра порядку має наступний вигляд:
де - затримка гребенчатого фільтра, визначає перший нуль передавальної функції фільтра. Амплітудно-частотна характеристика CIC фільтра представлена на малюнку 1.
Малюнок 1: АЧХ CIC фільтра
На малюнку 1 позначені: коефіцієнт посилення фільтра залежить від порядку фільтра і затримки гребенчатого фільтра
Використання CIC-фільтра при децимації сигналів
Розглянемо застосування CIC фільтра в завданні децимації сигналів. Нехай з вихідного сигналу необхідно отримати сигнал де - коефіцієнт децимації, тобто містить тільки кожен -ий відлік вихідного сигналу. Іншими словами частота дискретизації сигналу знижується в раз. Ми знаємо, що при прямому проріджуванні може проявиться алиасинг (aliasing), або як його ще називають ефект накладення, при цьому в децімірованном сигналі можуть з'явиться уявні гармоніки. Для усунення аліасинга необхідно поставити ФНЧ з частотою зрізу рад / с, як це показано на малюнку 2.
Малюнок 2: Алиасинг і його усунення за допомогою ФНЧ
На малюнку 2а показаний процес децимації в 2 рази без використання ФНЧ, в результаті високочастотні гармоніки проявляються в децімірованном сигналі в результаті аліасинга. Використання ФНЧ 2б дозволяє усунути гармоніки до децимації і вони не виявляться. Очевидно, що чим вище коефіцієнт придушення ФНЧ в смузі загородження, тим менше буде алиасинг.
Після того як ми обґрунтували необхідність ФНЧ в деціматор сигналів, розглянемо тепер використання в якості антіаліасінгового ФНЧ CIC фільтра. Оскільки необхідна смуга зрізу антіаліасінгового ФНЧ дорівнює (дивись малюнок 2б), а перший нуль АЧХ CIC фільтра має на частоті. то для усунення аліасігна потрібно CIC фільтр з затримкою гребенчатого фільтра. При цьому вибором порядку фільтра можна забезпечити требумое придушення в смузі загородження для усунення аліасинга при децимації. Наприклад нехай потрібно зробити децимації сигналу з коефіцієнтом при придушенні аліасинга на 40 дБ. Оскільки, то затримка. Збільшення порядку CIC фільтра на одиницю збільшує коефіцієнт придушення в смузі загородження на 11..13 дБ, тому для забезпечення заданого придушення аліасинга потрібно фільтр 4 -го порядку (). Згідно (2) коефіцієнт посилення CIC фільтра дорівнює
Максимальний рівень бічних пелюсток дорівнює:
Малюнок 7: АЧХ і ФЧХ СIC фільтра при і
Використання CIC-фільтра при інтерполяції сигналів
Розглянемо тепер використання CIC фільтрів в завданню інтерполяції сигналів. Фільтр інтерполятор забезпечує збільшення частоти дискретизації сигналу в раз, де - коефіцієнт інтерполяції. Схема фільтра інтерполятора і пояснення принципу його роботи представлена на малюнку 8.
Малюнок 8: Фільтр інтерполятор і принцип його роботи
Вихідний сигнал (на графіках малюнка 8 показаний чорним) надходить на інтерполятор, який збільшує частоту дискретизації в раз, шляхом вставки нулів між відліками вихідного сигналу (на верхньому малюнку 8 графіку показані червоними крапками). В результаті виходить сигнал доповнений нулями, який надходить на ФНЧ і який «піднімає нулі». У частотної області цей процес можна уявити, як показано на малюнку 9.
Малюнок 9: Процес інтерполяції в частотної області
Вихідний сигнал має періодичний спектр, з періодом, що дорівнює частоті дискретизації. Один період спектра представлений на верхньому графіку малюнка 9. Після додавання нулів між відліками сигналу отримуємо збільшення частоти дискретизації в раз, в результаті отримуємо спектр сигналу, який представляє собою раз повторений спектр на інтервалі, що наочно показано на середньому графіку малюнка 9. Синім показана АЧХ ФНЧ з частотою зрізу, який усуває періодичність спектру інтерпольованого сигналу, тим самим отримуємо інтерпольований сигнал, показаний на нижньому графіку малюнка 9. Необхідна нормована частота з різу ФНЧ дорівнює. А оскільки перший нуль передавальної характеристики CIC фільтра дорівнює, то при отримаємо необхідний CIC фільтр. Порядок CIC фільтра вибирається виходячи з необхідного придушення періодичних складових спектра інтерпольованого сигналу. Припустимо нам потрібно реалізувати фільтр інтерполятор, що збільшує частоту дискретизації в 4 рази () з придушенням періодичних складових на 40 дБ. CIC фільтр із заданими характеристиками ми вже розраховували коли розглядали деціматор і отримали, а. Нам залишилося тільки привести структуру даного фільтра інтерполятора (рисунок 10).
Малюнок 10: Фільтр інтерполятор при
Тепер розглянемо модифікацію фільтра інтерполятора представлену на малюнку 11.
Малюнок 11: Модифікація фільтра інтерполятора
На верхній схемі малюнка 11 показана вихідна структура фільтра інтерполятора з CIC фільтром в якості ФНЧ. При цьому затримка гребенчатого фільтра залежить від коефіцієнта інтерполяції. Поміняємо місцями каскади інтеграторів та гребінчастих фільтрів і отримаємо середню схему малюнка 11. Оскільки і фільтр інтегратор і гребінчастий фільтр - лінійні, то поміняв їх місцями ми не змінюємо характеристики фільтра. Тепер розглянемо більш детально каскадне з'єднання інтерполятора і гребінчастого фільтра (позначені сірим на малюнку 11). Интерполятор вставляє нулі між відліками вихідного сигналу (дивись рисунок 8), таким чином
Давайте розберемося: ніщо інше як інтерпольований, він же - сигнал на виході гребінчастого фільтра з затримкою 2 при вхідному сигналі. Таким чином ми отримали, що можемо поміняти місцями інтерполятор і гребінчастий фільтр (що показано на нижній схемою малюнка 11). В результаті схема модифікованого інтерполятора має вигляд представлений на малюнку 12.
Малюнок 12: Структурна схема модифікованого CIC інтерполятора
Приклад децимації і інтерполяції сигналів з використанням CIC-фільтрів
Тепер розглянемо приклад застосування CIC фільтрів в задачах децімірованія і інтерполяції сигналів. Для цього сформуємо сигнал з декількох гармонік. Нехай частота дискретизації дорівнює. Спектр такого сигналу показаний на малюнку 13. Здійснити децимації даного сигналу в 4 рази за допомогою схеми представленої на малюнку 3. Отримаємо продецімірованний сигнал, чий спектр показаний на малюнку 14.
Малюнок 13: Спектр вихідного сигналу
Малюнок 14: децимації за допомогою CIC фільтра
З малюнка 4 випливає, що частота дискретизації продецімірованного сигналу зменшилася в 4 рази і стала дорівнювати 100 Гц. Крім того зважаючи на сильну нерівномірності АЧХ CIC фільтра (дивись малюнок 7) амплітуди гармонік сигналу досить сильно спотворюються. Для запобігання спотворення амплітуд гармонік вдаються до схеми деціматор з фільтром коректором (ФК) показаної на малюнку 15. Розглянемо це докладніше. Якщо коефіцієнт децимації парний і більше двох (4, 8, 16 ...), то можна здійснити децимації в 2 етапи: спочатку CIC деціматор з коефіцієнтом, а потім ще продеціміровать в 2 рази, попередньо поставивши фільтр коректор. На графіках малюнка 15 наведені пояснення. АЧХ CIC деціматор не рівномірна (зелений графік), тому розраховується фільтр коректор з АЧХ, його призначення - вирівняти АЧХ CIC деціматор, усунути алиасинг при децимації в 2 рази. АЧХ фільтра коректора показана червоним на малюнку 15. Результуючий фільтр має рівномірну АЧХ в смузі пропускання і високу придушення в смузі загородження (синій графік малюнка 15). Таким чином ми можемо компенсувати нерівномірність АЧХ CIC фільтра. Необхідно зауважити, оскільки спочатку варто дуже ефективний CIC фільтр, то фільтр компенсатор працює на частотах в раз нижче, що практично знімає обмеження на його порядок, так як обробка ведеться при тактових частотах нижче ніж частота дискретизації вихідного сигналу. На малюнку 16 представлений спектр сигналу на виході CIC деціматор при (червоний графік), а також АЧХ фільтра коректора (жовтий графік). На малюнку 17показан спектр сигналу на виході фільтра коректора, а на малюнку 18 - він же, продецімірованний в 2 рази, тобто результуючий сигнал. Видно що використання фільтра коректора істотно покращує якість децимації (немає таких завалів, як на малюнку 14).
Малюнок 15: CIC деціматор з фільтром компенсатором
Малюнок 16: Спектр на виході СIC деціматор з коефіцієнтом і АЧХ фільтра коректора