Нехай задана нескінченна послідовність чисел.
Вираз називається числовим рядом. Числа називаються членами цього ряду.
Член ряду, що стоїть на n-му місці, рахуючи від початку, називається загальним членом цього ряду. Вираз зручно позначати наступним чином:
Сума кінцевого числа n перших членів ряду називається n-ой часткової сумою ряду.
Розглянемо часткові суми:
Якщо існує кінцевий межа. то його називають сумою ряду і кажуть, що ряд сходиться.
Якщо не існує (наприклад. То кажуть, що ряд розходитися і суми не має.
Теорема. (Необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд сходиться, то його n-й член прагнути до нуля при необмеженому зростанні n, тобто
Слідство. Якщо n-й член ряду не прагнути до нуля (), то ряд розходитися.
Розглянутий ознака є тільки необхідним, але не є достатнім, тобто з того, що n-й член ряду прагнути до нуля, ще не випливає, що ряд сходиться - ряд може і розходитися.
Достатні ознаки збіжності числових рядів:
Теорема. (Ознака збіжності Даламбера). Якщо для числового ряду з позитивними членами існує межа. то ряд сходиться при і розходиться при. При ряд може як сходитися, так і розходитися.
Теорема. (Ознака Коші). Якщо для числового ряду з позитивними членами існує межа. то ряд сходиться при і розходиться при. При ряд може як сходитися, так і розходитися.
Теорема. (Інтегральний ознака Коші). Нехай дано ряд з додатними членами. члени якого є значеннями безперервної позитивної функції f (x) при цілих значеннях аргументу х. ; . . ... і нехай f (x) монотонно убуває в інтервалі [1, ∞). Тоді ряд сходиться, якщо сходиться невласний інтеграл. і розходиться, якщо цей інтеграл розходиться.
Таким чином, якщо. то ряд розходиться, якщо ж дорівнює кожному кінцевому числу. то ряд сходиться.
Приклад: Записати ряд в розгорнутій формі a1 + a2 + ... + an + .... якщо заданий загальний член
;
;
;
Таким чином, отримаємо
Приклад: Визначити збіжність числового ряду
Рішення. Скористаємося необхідною ознакою збіжності ряду. Для даного числового ряду записуємо формулу загального члена і обчислюємо межа:
Так як межа не дорівнює нулю, то вихідний ряд розходиться.
Приклад: Використовуючи ознака Даламбера досліджувати ряд на збіжність.
. Отже, ряд сходиться.
Приклад: Використовуючи радикальний ознака Коші дослідити ряд на збіжність.
отже, ряд розходиться.
Приклад 5: Використовуючи інтегральний ознака Коші дослідити ряд на збіжність.
так як інтеграл не існує, то ряд розходиться.
Ряд, члени якого функції від x, називається функціональним.
Сукупність значень х. при яких функції. . , ..., визначені і ряд сходиться, називають областю збіжності функціонального ряду.
Функціональний ряд виду. де ,,, ... ,, - дійсні числа, називається статечним.
При статечної ряд має вигляд: