Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese
Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese
definition - Целая_часть
Графік функції «підлогу» (ціла частина числа)
Графік функції «стелю»
В математиці. ціла частина дійсного числа - округлення до найближчого цілого в меншу сторону. Ціла частина числа також називається Антьє (фр. Entier), або підлогу (англ. Floor). Поряд з підлогою існує парна функція - стеля (англ. Ceiling) - округлення до найближчого цілого в більшу сторону.
Позначення і приклади
Для цілої частини числа довгий час використовувалося позначення, введене Гауссом [джерело не вказано тисячу тридцять два дні]. Ні поняття функції стелю, ні спеціального позначення для неї не існувало. У 1962 році Кеннет Айверсон запропонував округлення числа до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «стать» і «стелю» і позначати і відповідно [1].
У сучасній математиці використовуються обидва позначення, і, проте існує тенденція переходу до термінології і позначень Айверсона. Одна з причин цього - потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа» [1]. Наприклад, ціла частина числа 2,7 дорівнює 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа -2,7. Відповідно до цього в цій статті визначенням, проте в деяких калькуляторах є функція цілої частини числа INT, для негативних чисел визначається як INT (-x) = -INT (x), так що INT (-2,7) = -2. У термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:
визначення
Функція стать визначається як найбільше ціле. менше або рівне:
Функція стелю визначається як найменше ціле, більше або рівне:
Ці визначення еквівалентні наступним нерівності (де n - ціле число) [2]:
Скрізь нижче позначають речові числа. а - цілі.
Пол / стеля як функції дійсної змінної
Функції підлога / стеля відображають безліч дійсних чисел в безліч цілих чисел:
Функції підлога / стеля мають розривні у всіх цілочисельних точках, це розриви першого роду зі стрибком. рівним одиниці.
При цьому, функція підлогу є:
Функція стелю є:
Зв'язок функцій підлоги і стелі
Для цілого підлогу і стелю збігаються:
Якщо - не ціла, то стелю рівно на одиницю вище статі:
Функції підлоги і стелі є відбитками один одного від обох осей:
Пол / стеля: нерівності
Будь-яке нерівність між речовим і цілим числами рівносильна нерівності з підлогою та стелею між цілими числами [2]:
Два верхніх нерівності є безпосередніми наслідками визначень підлоги і стелі, а два нижні - звернення верхніх від противного.
Функції підлога / стеля є монотонно зростаючими функціями:
Пол / стеля: додавання
Целочисленное доданок можна вносити / виносити за дужки статі / стелі [4]:
Попереднє рівність, взагалі кажучи, не виконується, якщо обидва доданків - речові числа. Однак і в цьому випадку справедливі нерівності:
Пол / стелю під знаком функції
Має місце наступна пропозиція: [5]
Нехай - безперервна монотонно зростаюча функція, певна на деякому проміжку. володіє властивістю:
всякий раз, коли визначені.
якщо і - цілі числа, і.
Пол / стеля: суми
Якщо - цілі числа,, то [6]
Взагалі, якщо - довільна дійсне число, а - ціле позитивне, то
Має місце більш загальне співвідношення [7]:
Так як права частина цієї рівності симетрична щодо і, то справедливий наступний закон взаємності:
застосування
Цілочисельні функції підлога / стеля знаходять широке застосування в дискретної математики і теорії чисел. Нижче наведені деякі приклади використання цих функцій.
Кількість цифр у записі числа
Кількість цифр у записі цілого позитивного числа в позиційній системі числення з основою b одно [8]
округлення
Найближче до ціле число може бути визначено за формулою
Бінарна операція mod
Операція «залишок по модулю», що позначається, може бути визначена за допомогою функції статі наступним чином. Якщо - довільні дійсні числа, і, то неповна частка від ділення на одно
,
Дробова частина
Дрібна частина дійсного числа за визначенням дорівнює
Кількість цілих точок проміжку
Потрібно знайти кількість цілих точок в замкнутому проміжку з кінцями і, тобто кількість цілих чисел, що задовольняє нерівності
В силу властивостей підлога / стелі, це нерівність рівносильна
.
Це є точок в замкнутому проміжку з кінцями і, рівне.
Аналогічно можна підрахувати кількість цілих точок в інших типах проміжків. Зведення результатів приведена нижче [9].
Перші три результати справедливі при всіх, а четвертий - тільки при.
Теорема Релея про спектрі
Нехай і - позитивні ірраціональні числа. пов'язані співвідношенням [10]
Тоді в ряду чисел
кожне натуральне зустрічається в точності один раз. Іншими словами, послідовності
В інформатиці
У мовах програмування
У багатьох мовах програмування існують вбудовані функції статі / стелі floor (), ceil ().
У системах верстки
У TeX (і LaTeX) для символів статі / стелі існують спеціальні команди: \ lfloor, \ rfloor, \ lceil, \ rceil. Оскільки wiki використовує LaTeX для набору математичних формул, то і в даній статті використані саме ці команди.