В геометрії архимедова тіло (архимедів багатогранник) - це високо симетричний Напівправильні опуклий багатогранник. має в якості граней два або більше типів правильних багатокутників. примикають до однакових вершин. Вони відрізняються від платонових тел (правильних багатогранників), які складаються тільки з одного типу багатокутників в однакових вершинах, і від багатогранників Джонсона. правильні багатокутні межі якого належать різним типам вершин.
Тут «ідентичні вершини» означають, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершині, були ізометрічни гранях при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, чи вважається подовжений квадратний гірокупол (псевдо-ромбо-кубо-октаедр) архімедовим тілом або многогранником Джонсона - це єдиний опуклий багатогранник, в якому багатокутні межі примикають до вершини одним і тим же способом в кожній вершині, але багатогранник НЕ має глобальну симетрію, яка б перекладала будь-яку вершину в будь-яку іншу. Грунтуючись на існування псевдо-ромбо-кубо-октаедра, Грюнбаум [1] запропонував термінологічне розходження, в якому архимедова тіло визначається як має одну і ту ж вершину фігуру в кожній вершині (включаючи подовжений квадратний гірокупол), в той час як однорідний багатогранник [en ] визначається як має будь-яку вершину, симетричну будь-який інший (що виключає гіробікупол.
Призми і антипризми. групами симетрій яких є діедріческіе групи. зазвичай не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки кінцеве число архімедівських тел. Всі тіла, крім подовженого квадратного гірокупола, можна отримати побудовами Візоффа з платонових тіл за допомогою тетраедральной. октаедральной [en] і ікосаедральной [en] симетрій.
Архимедови тіла названий так на честь Архімеда. обговорював їх в нині втраченої роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перерахував 13 багатогранників [1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх все. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером [2]. який визначив поняття призм. антипризми і неопуклих тел, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.
Існує 13 архімедівських тел (не рахуючи подовженого квадратного гірокупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфов. Які нижче перераховані окремо).
Тут верхова конфігурація відноситься до типів правильних багатокутників, які примикають до вершини. Наприклад, верхова конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат. шестикутник і восьмикутник зустрічаються в вершині (порядок перерахування береться за годинникової стрілки щодо вершини).
Назва
(Альтернативне назва)
Число вершин дорівнює відношенню 720 ° до кутового дефекту при вершині.
Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно однорідними [en] і називаються квазіправільнимі.
хіральність
Плосконосий куб і плосконосий додекаедр хіральні. оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правостороннем варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіморфамі (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).
Побудова архімедівських тел
Детальний розгляд теми: Однорідні багатогранники і Нотація багатогранників Конвея
Архимедови тіла можуть бути побудовані за допомогою положення генератора в калейдоскопі
Різні архимедови і Платонова тіла можуть бути отримані одна з одної за допомогою пригорщі операцій. Починаючи з платонових тел можна використовувати операцію усічення кутів. Для збереження симетрії усічення робиться площиною, перпендикулярної прямої, що з'єднує кут з центром багатокутника. Залежно від того, наскільки глибоко проводиться усічення (див. Таблицю нижче), отримаємо різні Платонова і архимедови (і інші) тіла. Розтягування або скошування здійснюється шляхом руху граней (в напрямку) від центру (на один і той же відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Останнє побудова, яке ми тут наводимо, це усічення як кутів, так і ребер. Якщо ігнорувати масштабування, розширення можна також розглядати як усічення кутів і ребер, але з певним ставленням між усіченого кутів і ребер.
Побудова архімедівських тел
Тетраедральная