Аналіз основних математичних понять
Вивчення математики пов'язане з засвоєнням певної системи понять. Щоб оволодіти цією системою і потім успішно застосовувати набуті знання і вміння, навчаючи молодших школярів і вирішуючи завдання їх розвитку засобами математики, необхідно спочатку зрозуміти, які особливості математичних понять, як влаштовані їх визначення, пропозиції, які виражають властивості понять. [9, с. 39]
Поняття про систему числення розкривається при концентричному побудові курсу поступово в процесі вивчення нумерації натуральних чисел і арифметичних дій над ними. При цьому поняття розряду, класу, розрядної і класної одиниці, розрядного числа знаходить свій розвиток від концентра до концентру, тобто поступово вводяться нові розряди і класи, їх назву і в зв'язку з цим розглядаються назву, запис і читання чисел, їх десятковий склад.
Арифметичні дії. Арифметичні дії займають центральне місце в початковому курсі математики. Це складний і багатогранний питання. Він включає розкриття конкретного змісту арифметичних дій, зв'язків і залежностей між компонентами і результатом дій і між самими діями, а також формування обчислювальних навичок і вмінь, умінь вирішувати арифметичні завдання.
Як і інші математичні поняття, кожне арифметична дія розкривається на конкретній основі в процесі виконання операцій над множинами: додавання - на основі операції об'єднання множин, які не мають спільних елементів; віднімання - на основі операції видалення частини безлічі (підмножини); множення - на основі операції об'єднання множин однаковою чисельності та розподіл на основі операції розбиття множини на ряд рівночисельний непересічних множин.
Арифметичний матеріал включає нумерацію цілих невід'ємних чисел і арифметичні дії над ними, відомості про величини, їх вимірі, про дробах, про іменованих числах і діях над ними. Вивчення цього матеріалу має привести учнів до засвоєння системи математичних понять, а також до оволодіння твердими і усвідомленими вміннями і навичками.
Число нуль і цифра 0. Число нуль трактується в початковому курсі як кількісна характеристика класу порожніх множин. Включення в початковий курс математики числа і цифри нуль дозволяє розширити числову область і створити належні умови для оволодіння учнями областю цілих невід'ємних чисел. Нуль як число і як цифра вводиться в 1 класі. Спочатку нуль розглядається як цифра, що позначає на лінійці початок отмеривания, потім вводиться число нуль при відніманні виду: 2-2 = 0, 3-3 = 0. Далі нуль виступає як компонент дій першого ступеня: 5 + 0, 0 + 9, 8-0, а при вивченні дій множення і ділення як компонент цих дій: 0x4, 3x0, 0x0, 0: 4. Тут же розглядається неможливість поділу на нуль. Цифра нуль використовується для позначення відсутності одиниць будь-якого розряду або класу в запису числа (70 3 000, 204 3 702).
Наочне уявлення про дроби. З метою підготовки до вивчення систематичного курсу математики в початковому курсі дається наочне уявлення про дроби. У 3 класі вводиться поняття частки як однієї з рівних частин цілого (кола, шматка шпагату і ін.), Дається запис часткою. Оскільки суть поняття частки дуже яскраво розкривається при вирішенні задач на знаходження частки числа і числа за його частці, то ці завдання включені в курс, що вивчається в 3 класі. У 4 класі вводиться дріб як сукупність часток, запис дробу, перетворення і порівняння дробів на наочної основі (2/4 = 1/2; 3/5<4/6), задачи на нахождение дроби числа.
Одночасно з розкриттям конкретного сенсу кожного арифметичного дії вводиться відповідна символіка (знаки дії) і термінологія: назви дій, назва компонентів і результатів дій. Тут же починається робота над поняттям математичного виразу, спочатку розглядаються найпростіші вирази виду: 7 + 3, а пізніше більш складні види: 9-(2 + 3).
Властивості арифметичних дій. Початковий курс математики включає ряд властивостей арифметичних дій. Це переместительное властивість додавання і множення, розподільна властивість множення і ділення, а також властивості: додавання числа до суми, віднімання числа від суми, поповнення суми до числа, віднімання суми з числа, додавання суми до суми, віднімання суми від суми, множення числа на суму і суми на число, ділення суми на число, множення числа на добуток, розподіл числа на твір.
Кожне з названих властивостей розкривається на основі практичних операцій над множинами або над числами, в результаті чого учні повинні прийти до узагальнення. Для засвоєння властивостей в курсі передбачається система спеціальних вправ, але головна сфера застосування властивостей - це розкриття на їх основі обчислювальних прийомів. Наприклад, уже в 1 класі після вивчення переместітельного властивості складання вводиться прийом перестановки доданків для випадків виду: 2 + 6; нагоди 54-20 передує розгляд різних способів віднімання числа із суми, на основі чого розкривається обчислювальний прийом:
Спираючись на властивості арифметичних дій, зв'язок між результатами і компонентами дій і десятковий склад чисел, розглядаються прийоми обчислень майже для всіх випадків, що розглядаються в початковому курсі. Такий підхід до вивчення прийомів обчислень забезпечує, з одного боку, формування усвідомлених умінь і навичок, так як учні зможуть обґрунтувати будь-обчислювальний прийом, а з іншого боку, при такій системі краще засвоюються властивості дій і інші питання курсу.
Система вправ для вироблення обчислювальних навичок. У початковому курсі математики передбачається система вправ, спрямованих на вироблення в учнів обчислювальних навичок. Це тренувальні вправи різного характеру: рішення окремих прикладів, заповнення таблиць, підстановка числових значень букв і знаходження значень отриманих виразів і т.п. У формуванні навичок передбачається різна ступінь їх автоматизації: навички додавання і множення табличних випадків і зворотні по відношенню до них випадки віднімання і ділення повинні бути доведені до повного автоматизму. Автоматизується і виконання окремих операцій, наприклад, при додаванні чисел 18 і 7 швидко виконуються операції: 18+ (2 + 5) = (18 + 2) + 5 = 20 + 5 = 25.
Одночасно з вивченням властивостей арифметичних дій і відповідних прийомів обчислень розкривається на основі операцій над множинами або над числами, зв'язок між компонентами і результатами арифметичних дій (наприклад, якщо з суми відняти один з доданків, то вийде інше доданок), зміна результатів арифметичних дій в залежності від зміни одного з компонентів, (наприклад, якщо одна з складових збільшити на кілька одиниць, а інше залишити без зміни, то сума збільшиться на стільки ж єдині ц).
Всі названі питання, що відносяться до арифметичних дій, розглядаються в тісному зв'язку один з одним.
Елементи алгебри і геометричний матеріал. У зв'язку з вивченням арифметичного матеріалу вводяться елементи алгебри: на конкретній основі розкриваються поняття рівності, нерівності, рівняння, змінної.
Починаючи з першого класу, розглядаються числові рівності і нерівності (3 = 3, 5 = 1 + 4, 3<4, 7+2>7), які від концентрації до концентру ускладнюються. Їх вивчення безпосередньо пов'язується з вивченням арифметичного матеріалу і допомагає більш глибоко розкрити його. Вирішуються рівняння з 3 класу. Рішення рівнянь виконується на основі зв'язку між компонентами і результатами арифметичних дій.
Геометричний матеріал служить, головним чином, цілям ознайомлення з найпростішими геометричними фігурами і розвитку просторових уявлень школярів. Тому в початковий курс математики, починаючи з 1 класу, включені геометричні фігури: прямі, криві і ламані лінії, точка, відрізок прямої, багатокутники (трикутник, чотирикутник) і їх елементи (вершини, сторони, кути); прямий кут, прямокутник (квадрат), окружність, коло, центр, радіус кола. Учні повинні навчитися розрізняти ці фігури, називати їх і виконувати найпростіші побудови на картатій папері і на нелінійованому за допомогою лінійки, кутника і циркуля. Крім того, вони повинні оволодіти вмінням знаходити довжину відрізка, ламаної лінії, периметр багатокутника, площа прямокутника. Курс математики передбачає різноманітні завдання геометричного характеру, спрямовані на формування просторових уявлень учнів. Всі питання геометрії розкриваються на наочної основі.
Поняття величини і ідея вимірювання величин. У тісному зв'язку з вивченням арифметичного, алгебраїчного і геометричного матеріалу розкривається поняття величини і ідея вимірювання величин. Ознайомлення з такими величинами, як довжина, маса, час, швидкість, площа, з одиницями їх вимірювання і з вимірюванням величин виконується практично і тісно пов'язується з формуванням поняття числа, десяткової системи числення і арифметичних дій, а також з формуванням поняття геометричної фігури. Внаслідок такого зв'язку стає можливим вести навчання, спираючись на наочні образи, пов'язуючи навчання з практичною діяльністю дітей.
Таким чином, ми можемо виділити наступні особливості початкового курсу математики:
- основою початкового курсу є арифметика натуральних чисел і основних величин;
- матеріал початкового курсу математики вводиться концентрично;
- питання теоретичного і практичного характерів органічно пов'язуються між собою;
- математичні поняття, властивості і закономірності розкриваються в курсі в їх взаємозв'язку;
- початковий курс математики побудований так, щоб в процесі його вивчення кожне поняття набуло розвитку;
- подібні або пов'язані між собою питання розглядаються в порівнянні.
Виділяються наступні основні поняття початкового курсу математики: арифметичні дії; поняття натурального числа; число нуль і цифра 0; наочне уявлення про дроби; властивості арифметичних дій; система вправ для вироблення обчислювальних навичок; елементи алгебри і геометричний матеріал; поняття величини і ідея вимірювання величин; вирішення задач.