§ 7.10. абсолютна стійкість
Розглянемо вільний рух в системі, що складається з лінійної частини з функцією передачі і нелінійної негативного зворотного зв'язку з характеристикою (рис. 7.39). Рівняння для цієї схеми можна записати у вигляді
Рівняння для лінійної частини записані для зображень Лапласа змінних. Умова накладене на функцію, означає, що в точці система має стан рівноваги: пара є тривіальним рішенням диференціальних рівнянь (7.52). Ми будемо досліджувати умови стійкості цього стану рівноваги, т. Е. Стійкість тривіального рішення.
Рівняння (7.52) можна записати також в змінних стану:
де х - n-мірний вектор стану; - постійна матриця; с - постійний вектор; b - постійний вектор. Між функцією передачі і коефіцієнтами рівнянь (7.53) існує залежність
де Е - одинична матриця. Передавальна функція для рівняння (7.53) в загальному випадку дорівнює відношенню полиномов:
де ступінь полінома дорівнює числу змінних стану Рівність ступеня полінома числу змінних стану істотно - це означає, що передавальна функція невирождени, т. е. не мають однакових множників виду При цьому умови система (7.53) повністю керована і еквівалентна системі (7.52). Ступінь полінома взагалі дорівнює але при деяких значеннях коефіцієнтів матриці А може бути і менше, аж до нуля. Якщо рівняння стану мають вигляд
де - відмінне від нуля постійне число, то ступінь дорівнює ступеня
Важливою особливістю загальної теорії стійкості нелінійних систем зазначеного виду є те, що розглядаються не конкретні види функцій (т. Е. Параболи, експоненти і т. П.), А класи функцій, що задовольняють тим чи іншим обмеженням. Якщо положення рівноваги системи (7.53) або (7.55) асимптотично стійко в цілому за будь-якої нелінійної функції з заданого класу, то вона називається абсолютно стійкою в цьому класі. Ми будемо розглядати клас функцій задовольняють секторних обмеженням. Їх характеристики, побудовані в
площині укладаються в кутовому секторі, утвореному двома прямими:
Про такі нелінійності кажуть, що вони відносяться до класу або що вони належать сектору Нелінійності з класу визначаються наступною умовою:
Ця умова рівносильна нерівності
Ліва частина є квадратичною формою дійсних змінних і о. Очевидно, умова (7.56) є окремим випадком більш загального умови
де - довільна квадратична форма дійсних змінних. Якщо характеристика або пара задовольняє нерівності (7.57), то говорять, що вона задовольняє локальної зв'язку з формою Поряд з класом нелінійності, що визначаються локальної зв'язком, розглядають клас нелінійних характеристик, який задається інтегральної зв'язком.
Будемо говорити, що характеристика задовольняє інтегральної зв'язку з формою, якщо існують послідовність і число такі, що виконується нерівність
т. e. ми вимагаємо, щоб при зростанні інтеграл не прагнув до негативної нескінченності [11].
При виконанні локального зв'язку задовольняється і інтегральна зв'язок з тією ж формою. Протилежне твердження не має сили. Існують функції, що задовольняють інтегральної зв'язку, але не задовольняють локальної зв'язку з тією ж формою.
Нарешті, відзначимо, що при визначенні класів нелінійностей обмеження можуть накладатися не тільки на,
але також і на похідну Тому, коли такі обмеження накладаються, будуть розглядатися зв'язку з квадратичною формою.
Відзначимо деякі підкласи.
Підклас задовольняє умовам
Підклас - будь-яка, розташована тільки в першому і третьому квадрантах площини
Для практичних цілей найбільш зручною формою визначення стійкості нелінійних систем є частотні критерії, в яких використовується запис рівнянь у вигляді (7.52) і частотна характеристика лінійної частини для формулювання частотних критеріїв потрібно попереднє перетворення квадратичних форм, що входять в локальні і інтегральні зв'язку. При цьому використовуються поняття ермітової форми і ермітовим розширення.
Нагадаємо, що ермітової формою від дійсних або комплексних змінних називається многочлен
де А - ермітова матриця, т. е. матриця, в якій елементи, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, є комплексно-сполученими числами Тут зірочка позначає комплексне сполучення, Т - транспонування ермітовим форма приймає тільки дійсні значення: ермітовим форма комплексних змінних називається ермітовим розширенням квадратичної форми від дійсних змінних якщо при ці форми рівні.
В окремому випадку, коли квадратична форма представлена у вигляді добутку двох лінійних форм як легко перевірити, її ермітовим розширенням буде форма
Нехай розглядається локальна або інтегральна зв'язок з формою При формулюванні частотного критерію використовується наступне перетворення. Знаходиться ермітовим розширення форми Знак над змінної означає, що вона приймає комплексні значення.
Змінні можна розглядати як зображення Лапласа для змінних, а. При використанні рівняння (див. (7.52)), змінні з і а виключаються, а потім в передавальної функції проводиться підстановка. В результаті виходить частотна функція
В окремому випадку, коли представлена у вигляді добутку двох лінійних форм, о), в силу (7.61) маємо
Знайдемо частотні функції для нелинейностей підкласів. Для підкласу з (7.56) і (7.62) отримуємо або, так як
Для підкласу поклавши в маємо
Для підкласу з (7.60) отримаємо
Введемо поняття мінімальної стійкості.
Якщо рівновага системи (7.53) буде стійким хоча б для будь-якої характеристики з даного класу, то рівновага називається мінімально стійким в даному
класі. При використанні частотних критеріїв зазвичай починають з перевірки мінімальної стійкості. Це найпростіше зробити для лінійних систем, які утворюються з системи (7.52) шляхом заміни нелінійної характеристики лінійної що належить тому ж класу. Для нелинейностей з класу вибирається з умови Система (7.53) мінімально стійка, якщо характеристичний поліном замкнутої лінійної системи
задовольняє умові Гурвнца або якщо матриця має всі власні значення, розташовані зліва від уявної осі.