1) Наближені обчислення. Співвідношення між кутовий і радіальної заходами вимірювання кутів і довжинами дуг.
Наближені обчислення. обчислення, в яких дані і результат (або принаймні тільки результат) є числами, лише приблизно представляють істинні значення відповідних величин. П. в. виникають у зв'язку з чисельним рішенням задач і обумовлені неточностями, які властиві формулюванню завдання і способам її рішення. Загальні правила і теорію методів П. в. прийнято називати чисельними методамі.Обозначеніе одиниць виміру плоского кута:
градус- «°»; хвилина - « '»; секунда - «" ».
Співвідношення між кутовими одиницями:
1 ° = 1/360 повного обороту = 2Π / З60 рад = 0,017453 радий;
1 '= 1/60 ° = Π / 108 * 10 -2 рад = 0,000 291 радий, 1' '= 1/60' '= Π / 648 * 10 -3 рад = 0,000 005 радий.
2) Тригонометричні функції малих кутів.
Нехай a буде який-небудь гострий кут. Візьмемо на одній з його сторін довільну точку і опустимо з неї перпендикуляр на іншу сторону кута. Тоді ми отримаємо прямокутний трикутник. Візьмемо відносини сторін цього трикутника попарно, а саме: 1) відношення катета, протилежного куту, до гіпотенузи,
2) відношення катета, прилеглого куті, до гіпотенузи,
3) відношення катета, протилежного куту, до катета прилеглого, і зворотні їм відносини.
Величина кожного з цих відносин не залежить від положення точки на стороні угла.Все зазначені відносини називаються тригонометричними функціями. Частіше за інших відносин беруться наступні чотири:
1) відношення катета, протилежного куту a, до гіпотенузи називається синусом кута a і позначається sin (a), 2) відношення катета, прилеглого куті a, до гіпотенузи називається косинусом кута a і позначається соs (a), 3) відношення катета, протилежного кутку a, до катета прилеглого називається тангенсом кута a і позначається tg (a), 4) відношення катета, прилеглого куті a, до катета протилежного називається котангенсом кута a і позначається сtg (a) .Так як кожен з двох катетів менше гіпотенузи, то синус і косинус кожного кута є число менше одиниці. Залежність між тригонометричними функціями одного і того ж кута. Найпростіші з цих залежностей наступні чотири:
;;;
Сферична тригонометрія займається вивченням співвідношень між сторонами і кутами сферичних трикутників (наприклад, на поверхні Землі і на небесній сфері) .Сферіческіе трикутники. На поверхні кулі найкоротша відстань між двома точками вимірюється уздовж окружності великого кола, т. Е. Окружності, площина якої проходить через центр кулі. Вершини сферичного трикутника є точками перетину трьох променів, що виходять з центру кулі і сферичної поверхні. Сторонами a, b, c сферичного трикутника називають ті кути між променями, які менше 180 (якщо один з цих кутів дорівнює 180, то сферичний трикутник вироджується в півколо великого кола). Кожній стороні трикутника відповідає дуга великого кола на поверхні кулі (див. Малюнок).
Кути A, B, C сферичного трикутника, протилежні боки a, b, c відповідно, являють собою, за визначенням, менші, ніж 180, кути між дугами великих кіл, відповідними сторонам трикутника, або кути між площинами, які визначаються даними лучамі.Геометрія на поверхні кулі є неевклідової; в кожному сферичному трикутнику сума сторін укладена між 0 і 360, сума кутів укладена між 180 і 540. У кожному сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Сума будь-яких двох сторін більше третьої сторони, сума будь-яких двох кутів менше, ніж 180 плюс третій угол.Сферіческій трикутник єдиним чином визначається (з точністю до перетворення симетрії): 1) трьома сторонами, 2) трьома кутами, 3) двома сторонами і укладеними між ними кутом, 4) стороною і двома прилеглими до неї кутами.
4) Формула косинуса боку.
Формула косинуса боку пов'язує три сторони і один з кутів сферичного трикутника. Зручна для знаходження невідомого кута або сторони, протилежній цього кутку, і читається так: «в сферичному трикутнику косинус сторони дорівнює добутку перекіс-сов двох інших сторін плюс твір синусів цих сторін на косинус кута між ними»
5) Формула косинуса кута і синусів
Формула косинуса кута пов'язує три кути і сторону сферичного тре-кутника, зручна для знаходження невідомої сторони або кута, протидії лежачого цей бік, і читається так: «косинус кута сферичного тре-кутника дорівнює негативному добутку косинусів двох інших кутів плюс твір синусів цих кутів на косинус сторони між ними ».;
6) Формули п'яти елементів і котангенсів.
Формула котангенсів (4-х сусідніх елементів) пов'язує 4 сусідніх елемента, використовується для знаходження крайніх елементів і читається так: "твір котангенс крайнього кута на синус середнього кута дорівнює добутку котангенс крайней боку на синус середньої боку мінус твір косинусів середніх елементів ".
ctg A * sinC = ctg a * sin b-cos b * cos C.
7) Рішення прямокутних сферичних трикутників. Правило Модюі-Непера. Додаткові формули для рішення косокутних сферичних трикутників.
Прямокутним називається такий сферичний трикутник, у якого один з кутів дорівнює 90 °. Прямокутні сферичні трикутники більш раціонально вирішувати за правилами Модюі-Непера: в прямокутному сферичному трикутнику косинус будь-якого середнього елемента дорівнює добутку котангенс крайніх суміжних з ним еле-тів; косинус окремо лежачого елемента сферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох не суміжних з нею поруч лежать елементів-тов. Примітка: в обох правилах прийнято, що катети лежать поруч один з одним і що замість катетів треба брати їх доповнення до 90 °, змінюючи відповід-повідно найменування тригонометричних функцій.
8) Фігура і розміри Землі.
Земля являє собою неправильної форми куля. Довжина його екваторіального радіуса дорівнює 6 378 245 м. А полярного-6 356 863 м. Як видно, екваторіальний діаметр Землі довше полярного приблизно на 42,8 км. Якщо зобразити відхилення форми Землі від кулі на глобусі з поперечником в 1 м по екватору, то його полярна вісь буде коротше екваторіальній на 3,35 мм. Фігура Землі має форму геоїда, що перекладається як «землеподобний». Геоидом називається фігура, яка обмежує необуреним поверхню рівня світового океану, подумки проходить під материками і островами, таким чином, що вона в кожній своїй точці перпендикулярна прямовисній лінії і має неправильну геометричну форму. Геометрія геоїда дуже складна, тому замість геоїда при вирішенні штурманських завдань ис-товують простіші моделі Землі: еліпсоїд обертання, сферу, карту. Розміри референц-еліпсоїда Красовського: велика піввісь а = 6378245 м; в = 6356863 м; полярне стиснення а = (а-в) / а = 1 / 298,3; екс-центрісітет е = 0,0818; R = 6371110м.
9) Основні елементи на поверхні небесної сфери і земного сфероїда.
Площина істинного меридіана спостерігача перетинається з площиною істинного горизонту по лінії N - S, яка називається полуденної лінією, так як в цій площині Сонце буває точно опівдні.
Вертикальну площину, що проходить через око спостерігача перпендикулярно площині дійсного меридіана спостерігача, називають площиною першого вертикалі (площину 3). Вона перетинається з площиною дійсного горизонту спостерігача по лінії Ost-W. Таким чином, перетин взаємно перпендикулярних площин істинного меридіана спостерігача і першого вертикалі дає чотири головні лінії на площині дійсного горизонту спостерігача, які вказують на головні точки горизонту: N, S, Ost і W. Якщо спостерігач стане обличчям на північ, то за спиною у нього буде південь, праворуч схід, зліва захід. Лінії N-S, Ost-W в будь-якій точці земної поверхні (крім полюсів) займають цілком певне положення. Напрямки N, S, Ost і W називають головними напрямками, або головними румбами, які ділять істинний горизонт на чотири чверті: NOst- північно-східну, SOst - південно-східну, SW-південно-західну і NW-північно-західному. Кожна чверть ділиться на 8 румбів, а весь горизонт-на 32 румба.Основние географічні точки, лінії і кола на земній шаре.Земля безперервно обертається в напрямку із заходу на схід. Діаметр, навколо якого відбувається це обертання, називається віссю обертання Землі.Земля безперервно обертається в напрямку із заходу на схід. Діаметр, навколо якого відбувається це обертання, називається віссю обертання Землі.
Ця вісь перетинається з поверхнею Землі в двох точках, які називаються географічними полюсами: один Північним (С), а інший Південним (Ю). Північним називається той полюс, в якому, якщо дивитися на нього зверху, обертання Землі направлено проти годинникової стрілки. Протилежний полюс називається Південним.
Через будь-яку точку на земній кулі можна провести безліч великих і малих кругов.Большім називається коло, утворений на земній поверхні площиною перетину, що проходить через центр Землі. Малим називається коло, утворений на земній поверхні площиною перетину, що не проходить через центр Землі. Велике коло, площина якого перпендикулярна осі обертання Землі, називається екватором. Екватор ділить земну кулю на Північна і Південна півкулі. Мале коло, площина якого паралельна площині екватора, називається паралеллю. Через кожну точку на земній поверхні можна провести тільки, одну паралель, яка називається паралеллю місця. Велике коло, що проходить через полюси Землі, називається географічним, або істинним меридіаном. Через кожну точку на земній поверхні, крім полюсів, можна провести тільки один меридіан, який називається меридіаном місця. Меридіан, що проходить через Грінвічську астрономічну обсерваторію, що знаходиться в Англії поблизу Лондона, прийнятий за міжнародною угодою в якості початкового мерідіана.Начальний меридіан ділить земну кулю на Східне і Західне півкулі. Площина екватора і площина початкового меридіана є основними площинами, від яких починається відлік географічних координат.