Комп'ютерна арифметика - сукупність принципів і форм представлення числової інформації, методів і алгоритмів виконання арифметичних операцій і обчислення елементарних функцій, що розглядаються на рівні внутрішньої структурної організації технічних засобів комп'ютерних систем (КС). Це частина обчислювальної математики, орієнтованої на логічний рівень опису обчислювальних структур і процесів в них.
Що таке інформація взагалі, в загальному розумінні? Термін інформація походить від латинського слова information, що означає:
Алгоритм - спосіб перетворення інформації, який задається за допомогою кінцевої системи правил. Інформація подається у вигляді сукупності чисел (чисел) в деякій системі числення, самі ж цифри відображаються сигналами, мають кінцеве число рівнів квантування.
Система числення (СС) - сукупність прийомів і правил для встановлення однозначної відповідності між будь-яким числом і його поданням до вигляді деякої сукупності знаків (символів).
Кількісний еквівалент числа (КЕЧ) - деяка кількість, однозначно відповідне числу. (На абстрактно-інтуїтивному рівні безвідносно до систем числення і вимірювання). Кожній цифрі в запису числа зіставляється деяка кількість, яке виражається цією цифрою і зване кількісним еквівалентом цифри (КЕЦ).
Довжина числа - кількість позицій (розрядів) в запису числа. У технічному аспекті довжина числа інтерпретується як довжина розрядної сітки (ДРС). Для різних СС характерна різна ДРС, необхідна для запису одного і того ж числа.
Всі операції в КС виконуються як послідовності в просторі і в часі деяких найпростіших, елементарних операцій, які називаються мікрооперацій. До числа основних класів микроопераций відносяться:
1) передача (прийом, видача) операнда;
2) зрушення (арифметичний, циклічний, логічний, модифікований) операнда на задане число розрядів;
3) додаток до операнду або віднімання з нього одиниці (в більш загальному випадку - деякої постійної величини);
4) порівняння операндів (за принципом "більше - менше - одно");
5) порозрядні логічні операції (диз'юнкції, кон'юнкції, рівнозначності, додавання за модулем 2);
6) арифметичне додавання двох операндів, відповідних числах в одній і тій же системі числення;
7) перетворення кодів операндів (включаючи інверсію, доповнення, шифрацию, дешифрацию і ін.).
2 Системи числення
Як було відзначено в першому розділі система числення - сукупність прийомів і правил для встановлення однозначної відповідності між будь-яким числом і його поданням до вигляді деякої сукупності знаків (символів). Запис числа в деякій системі числення називають кодом числа. Коротко число записується в такий спосіб:
де: А - кількісний еквівалент числа (А);
(An an-1 ... .a2 a1 a0) - цифри з безлічі, за допомогою яких можна представити число (А).
Окрему позицію в зображенні числа прийнято називати розрядом, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа називається розрядністю і збігається з його довжиною. У технічному аспекті довжина числа інтерпретується як довжина розрядної сітки. Якщо алфавіт має (p) різних значень, то розряд (аi) в числі розглядається як (р-кова) цифра, якої може бути присвоєно кожне з (р) значень. Кожній цифрі (аі) числа (А) однозначно відповідає її кількісний (числовий) еквівалент - (К (аі)). Кількісний еквівалент числа - (КЕЧ) - (А), заданого в певній системі числення, є деякою функцією числових еквівалентів всіх його цифр, тобто .:
де: К (А) - кількісний еквівалент числа (А);
К (аn) - максимальний кількісний (числовий) еквівалент цифри числа (А), що знаходиться в крайньому лівому розряді;
К (а0) - мінімальний кількісний (числовий) еквівалент цифри числа (А), що знаходиться в крайньому правому розряді;
Тоді при будь-якій кінцевій розрядної сітці КЕЧ (А) буде приймати в залежності від кількісних еквівалентів окремих розрядів значення від К (А) min до К (А) max. Діапазон уявлення (D) чисел в даній системі числення - це інтервал числової осі, укладений між максимальними та мінімальними числами, представленими заданої розрядністю (довгої розрядної сітки):
де: D - діапазон представимо чисел в певній системі числення;
К (А) (р) max - максимальний кількісний еквівалент числа (А) по підставі (р);
К (А) (р) mіn - мінімальний кількісний еквівалент числа (А) по підставі (р).
Будь-яка система числення, призначена для практичного використання, повинна забезпечувати: - можливість подання будь-якого числа в заданому діапазоні чисел; - однозначність подання; - стислість і простоту запису чисел; - легкість оволодіння системою, а також простоту і зручність оперування нею.
2.1 Класифікація систем числення
В даний час розрізняють позиційні і непозиційної системи числення. Класифікація систем числення приведена на рис. 2.1.
