§5.Переменние потоки платежів
5.1 + .Нерегулярние потоки платежів час і сума внесених грошей заздалегідь невідомі). Обчислення нарощеної і наведеної сум:; .
5.2.Переменная рента (члени змінюються по заздалегідь невідомому закону).
Обчислення нарощеної і наведеної сум при разовому зміні членів ренти:
Приклад 502. За умовами угоди виробляються періодичні внески. причому загальний термін виплат (5 років) ділиться на два періоди. У першому з них (3 роки) виплачується за (100) тис. Руб. в кінці кожного півріччя, у другому - по (120) тис. руб. Ставка відсотків в першому періоді - 6% річних, у другому - (8)%. Необхідно знайти нарощену суму.
5.3.Рента з постійним приростом платежів і постійним періодом нарахування:
Доказ легко випливає з формули
Приклад 503. Передбачається виплачувати платежі таким чином, що кожен рік вони збільшується на руб. Перша сплата дорівнює руб. Ставка дорівнює% річних, термін виплат - 8 років. Платежі та нарахування відсотків виробляються раз в кінці року. Необхідно знайти сучасну величину і нарощену суму даної ренти.
Відповідь: 5089,055; 8111,180.
5.4.Вичісленіе параметрів ренти з постійним приростом платежів на приватному прикладі.
Приклад 504. Поточна заборгованість дорівнює (180) тис. Руб. Вирішено погасити її шляхом періодичних платежів протягом (8) років за схемою зростаючої ренти, причому абсолютний приріст дорівнює першому члену. Платежі та нарахування відсотків на залишок боргу виробляються в кінці року, ставка (6)% в рік. Визначити послідовні розміри платежів.
Залишилося тільки винести за дужки.
5.5.Ренти з постійним відносним зміною платежів (члени ренти), період виплат постійний:
Приклад 505. За умовами контракту передбачається в кінці кожного року виплачувати платежі, перший з них дорівнює (200) тис. Руб. наступні платежі збільшуються кожен раз на 20%. Термін - (6) років. Знайти сучасну величину і нарощену суму такої ренти. Ставка відсотків - (5,5)% річних.
Відповідь: 1607,69; 2216,75.
5.6.Постоянная безперервна рента (постійні платежі вносяться в кінці кожного нескінченно малого періоду):
Приклад 506. Очікується, що доходи від експлуатації родовища корисних копалин складуть (1) млн. Руб. в рік, тривалість розробки (10) років, доходи надходять безперервно і рівномірно в межах року і на протязі всього періоду. Знайти нарощену суму надходжень при нарахуванні на них складних відсотків з розрахунку (8)% в рік.
5.7.Вичісленіе терміну постійної безперервної ренти:
Приклад 507. За який термін нарощена сума виросте в (5) разів в порівнянні з річною сумою внеску, якщо останні здійснюються безперервно і рівномірно? На внески нараховуються безперервні відсотки, сила росту дорівнює (8)%. (См.5.8)
5.8.Постоянние безперервні ренти при безперервному зростанні відсотків: (див. 4.9);
Приклад 508. Яка прибутковість інвестицій (у вигляді) рівних (1) млн. Руб. якщо віддача від них становить щорічно (0,2) млн. руб. Очікується, що надходження рівномірний, термін (8) років. Зробити перевірку.
Відповідь: 12,8396; 0,9999999.
5.9.Лінейно змінюється безперервний потік платежів:
де - сума платежів за період Якщо то
Приклад 509. Намічається протягом трьох років безперервно збільшувати випуск продукції на (1) млн. Руб. щорічно. Базовий рівень випуску (10) млн. Руб. Необхідно визначити сумарний вартісний обсяг випуску і нарощену суму з нарахуванням по ставці
Відповідь: 30,512; 38,78882.
5.10.Вичісленіе процентної ставки лінійно змінюється потоку платежів.
Приклад 510. Капіталовкладення оцінюються в сумі (1) млн. Руб. початкова віддача складе (0,3) млн. руб. в рік, вона безперервно збільшується протягом (5) років (по 0,01 млн. руб. в рік). Яка прибутковість інвестицій, виміряна у вигляді безперервної процентної ставки? Зробити перевірку.
Відповіді. 20,659147; 1,00000.
5.11.Експоненціальний потік платежів. Якщо то
Приклад 511. Очікується, що інфляція в майбутньому складе (5)% в рік. Яка сучасна величина потоку платежів, члени якого визначаються з поправкою на інфляцію (5% річних)? Параметри потоку: тис. Руб.,, Року; (Пояснимо, що потрібно замінити еквівалентною безперервної ставкою)
5.12.Вичісленіе процентної ставки експоненціального потоку платежів.
Приклад 512. Безперервний потік платежів (віддача від інвестицій) характеризується параметрами (0,3) млн. Руб. (15 років. Необхідно визначити процентну ставку, яка зрівнює потік і капіталовкладення в (2) млн. Руб.
5.13 + .Условние регулярні потоки платежів. Ренти (ануїтети), в яких невідомо число платежів, називаються умовними (страхування, пенсія).
Визначення. Якщо при настанні деякої події виплачується страховий внесок (більш прийнятий термін - премія) то теоретично премія дорівнює де - ймовірність настання події.
Теорема. Величина виплати при страхуванні обчислюється
і фактично дорівнює математичному очікуванню з урахуванням дисконтування.
Теорема. Нетто ставка страхування в віці на дожиття до 60 років визначається. де - число людей у віці років.
Теорема. Разовий внесок для пенсій
Визначення комутаційних чисел (функцій):
Комутаційні числа (чоловіки,).