Визначником (детермінантом) n-го порядку, відповідним матриці (1), називається алгебраїчна сума n! доданків, складена за правилом: складовими служать всілякі твори n елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, причому доданок береться зі знаком плюс, якщо його верхні індекси складають парну перестановку, і зі знаком мінус в іншому випадку. (2)
де А - квадратна матриця, порядку n
де det A, | A |, | a j k | - позначення визначника матриці А; підсумовування проводиться по всіх можливих перестановок k1, k2. kn.
Обчислення визначників за правилом (2) - вельми громіздка і трудомістка процедура. Той факт, що для обчислення визначника 4-го порядку потрібно виписати 4! = 24 доданків, а для визначника 5-го порядку - вже 5! = 120, робить цю формулу малопридатною для практичних розрахунків. Для спрощення завдання обчислення визначників застосовують спеціальні методи, засновані на використанні властивостей матриць і визначників.
Спосіб 1 - Приведення матриці до "трикутного" виду.
З формули (2) випливає, що визначник трикутної матриці (матриця, в якій всі елементи розташовані нижче головної діагоналі рівні 0) дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто
Всі інші складові визначника містять нуль в якості множника і, отже, дорівнюють нулю.
Значить, для того щоб знайти визначник довільної матриці нам досить привести її до трикутної форми. Для цього використовуємо такі дві властивості визначників:
Властивість 1. Визначник не змінить своє значення, якщо до всіх елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці додати відповідні елементи паралельної рядка (стовпчика), помножені на довільне одне і те ж число.
Властивість 2. При перестановці двох будь-яких стовпців або рядків матриці її визначник змінює знак на протилежний, а абсолютна величина визначника залишається незмінною.
На підставі цих властивостей визначників складемо розрахунковий алгоритм:
- Розглядаємо рядок i (починаючи з першої). Якщо, елемент a i i дорівнює нулю, міняємо місцями i-ю і i + 1-ю рядки матриці. Знак визначника при цьому зміниться на протилежний. Якщо a 1 + 1 відмінний від нуля - переходимо до наступного кроку;
- Для кожного рядка j, нижче i-й знаходимо значення коефіцієнта Kj = a j i / a i i;
- Перераховуємо елементи всіх рядків j, розташованих нижче поточного рядка i, з використанням відповідних коефіцієнтів за формулою: a j k новий. = A j k -Kj * a i k; Після чого, повертаємося до першого кроку алгоритму і розглядаємо наступний рядок, поки не доберемося до рядка i = n-1, де n - розмірність матриці A
- В отриманій трикутної матриці розраховуємо твір всіх елементів головної діагоналі Пa i i. яке і буде являтся визначником;
Іншими словами, суть методу можна сформулювати наступним чином. Нам необхідно зробити нульовими всі елементи матриці нижче головної діагоналі. Спочатку ми отримуємо нулі в першому стовпчику. Для цього ми послідовно віднімаємо перший рядок, домноженную на потрібне нам число (таке, щоб при відніманні ми отримали нуль в першому елементі рядка), з усіх нижче лежачих рядків. Потім робимо те ж саме для другого рядка, щоб отримати нулі у другому стовпці нижче головної діагоналі матриці. І так далі поки не доберемося до передостанньої рядки.
R336709263964 - WebMoney 41001419134483 - Яндекс Гроші