Завдання 1: В прямокутник 5 * 4 см 2 вписаний коло радіуса 1,5 см. Яка ймовірність того, що точка, випадковим чином поставлена в прямокутник, виявиться всередині кола?
Рішення: За визначенням геометричній ймовірності шукана ймовірність дорівнює відношенню площі кола (в який точка повинна потрапити) до площі прямокутника (в якої точка ставиться), тобто Відповідь: 0,353
Адачі 2: Яка ймовірність Вашої зустрічі з другом, якщо ви домовилися зустрітися в певному місці, з 12.00 до 13.00 годин і чекаєте один одного в протягом 5 хвилин?
Рішення: Позначимо за х і у час приходу, 0 ≤ х, у ≤ 60 (хвилин). У прямокутній системі координат цій умові задовольняють точки, що лежать всередині квадрата ОАВС. Друзі зустрінуться, якщо між моментами їх приходу пройде не більше 5 хвилин, тобто y - x <5, y>0, x - y <5, x> y. Цим неравенствам задовольняють точки, що лежать в області G, окресленої червоним.
Завдання на формулу Бернуллі
Завдання 1: З n акумуляторів за рік зберігання k виходить з ладу. Навмання вибирають m акумуляторів. Визначити ймовірність того, що серед них l справних. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 7/100 = 0,07 (ймовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (число випробувань), k = 5-3 = 2 (число «успіхів», несправних акумуляторів ). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться k раз). Отримуємо Відповідь: 0,0394.
Завдання 2: Пристрій, що складається з п'яти незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи; б) не менше чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2 (ймовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (число випробувань, тобто число елементів), k (число «успіхів», які відмовили елементів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмова відбудеться в k елементах): Отримуємо а) - ймовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п'яти. б) - ймовірність того, що відмовлять не менше чотирьох елементів з п'яти (тобто або чотири, або п'ять). в) - ймовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через імовірність протилежної події - жоден елемент не відмовить). Відповідь: 0,0512; 0,00672; 0,67232.
Завдання 3: Скільки слід зіграти партій в шахи з вірогідністю перемоги в одній партії, яка дорівнює 1/3, щоб найімовірніше число перемог дорівнювало 5?
Рішення: Найімовірніше число перемог k визначається з формули Тут p = 1/3 (імовірність перемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n - невідоме число партій. Підставляючи дані значення, отримуємо: Отримуємо, що n = 15, 16 або 17. Відповідь: 15, 16, 17.
Завдання на теореми додавання і множення ймовірностей
Завдання 1: Експедиція видавництва відправила газети в три поштових відділення. Імовірність своєчасної доставки газет в перше відділення дорівнює 0,95, в другу - 0,9, у третю - 0,8. Знайти ймовірність наступних подій: а) тільки одне відділення отримає газети вчасно; б) хоча б одне відділення отримає газети із запізненням.
Рішення: Введемо події А1 = (газети доставлені вчасно в перше відділення), А2 = (газети доставлені вчасно у друге відділення), А3 = (газети доставлені вчасно в третє відділення), за умовою P (A1) = 0,95; P (A2) = 0,9; P (A3) = 0,8. Знайдемо ймовірність події Х = (тільки одне відділення отримає газети вчасно). Подія Х відбудеться, якщо або газети доставлені вчасно в 1 відділення, і доставлені невчасно у 2 і 3, або газети доставлені вчасно в 2 відділення, і доставлені невчасно у 1 і 3, або газети доставлені вчасно в 3 відділення, і доставлені НЕ вчасно в 2 і 1. Таким чином, Так як події А1, А2, А3 - незалежні, по теорем додавання і множення отримуємо Знайдемо ймовірність події у = (хоча б одне відділення отримає газети із запізненням). Введемо протилежне подія = (всі відділення отримають газети вчасно). Імовірність цієї події Тоді ймовірність події У: Відповідь: 0,032; 0,316.
Завдання 2: Для сигналізації про аварію встановлені два незалежно працюючих сигналізатора. Імовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.
Рішення: Введемо незалежні події: А1 = (при аварії спрацює перший сигналізатор); А2 = (при аварії спрацює другий сигналізатор); за умовою завдання P (A1) = 0,95, P (A2) = 0,9. Введемо подія Х = (при аварії спрацює тільки один сигналізатор). Ця подія відбудеться, якщо при аварії спрацює перший сигналізатор і не спрацює другий, або якщо при аварії спрацює другий сигналізатор і не спрацює перший, тобто Тоді ймовірність події Х по теорем додавання і множення ймовірностей дорівнює Відповідь: 0,14.
Завдання 3: Імовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність попадання в ціль при одному пострілі.
Рішення: Нехай - ймовірність попадання в ціль при одному пострілі. Введемо подія X = і протилежне йому подія =. Імовірність події дорівнює, тоді ймовірність події Х дорівнює. За умовою ця ймовірність дорівнює 0,9984, звідки отримуємо рівняння щодо Відповідь: 0,8.