ЗАСТОСУВАННЯ інтеграли ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧ
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716)
«Загальна мистецтво знаків представляє чудове посібник, так як воно розвантажує уяву ... Слід дбати про те, щоб позначення були зручні для відкриттів. Позначення коротко висловлюють і відображають сутність речей. Тоді разючим чином скорочується робота думки. »
Завдання про знаходження об'єму тіла
Знайдемо обсяг тіла, обмеженого поверхнею обертання лінії навколо осі (при).
Для обчислення об'єму тіла обертання застосуємо формулу:
Фізичні додатки певного інтеграла
А) Обчислення роботи рухомого тіла
Б) Обчислення переміщення рухомого тіла
В) Обчислення маси тіла
Г) Обчислення електричного заряду в провіднику з струмом
Схема рішення фізичних завдань з використанням певного інтеграла
А) зробити креслення, відповідний умові завдання,
Б) вибрати систему координат,
В) вибрати незалежну змінну,
Г) вибрати формулу класичної фізики, відповідну умові завдання,
Д) знайти диференціал шуканої величини на підставі цієї формули,
Е) встановити проміжок інтегрування,
Ж) обчислити інтеграл, тобто знайти шукану величину.
Приклад 1. Знаходження шляху по заданій швидкості.
Нехай точка рухається зі швидкістю V (t). Потрібно знайти шлях s, пройдений точкою від моменту t = a до моменту t = b. Позначимо s (t) шлях, пройдений точкою за час t від моменту a. Тоді s '(t) = V (t), тобто s (t) - первісна для функції V (t). Тому за формулою Ньютона - Лейбніца знайдемо:
s = V (t) dt.
Наприклад, якщо точка рухається зі швидкістю V (t) = 2t + 1 (м / с), то шлях, пройдений точкою за перші 10 с, за формулою дорівнює
S = ∫10 (2t + 1) dt = (t2 + t) | 10 = 110 (м)
Приклад 2. Завдання про обчислення роботи змінної сили.
Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається по осі Ox під дією сили F (x), спрямованої уздовж осі Ox. Обчислимо роботу сили при переміщенні тіла з точки x = a в точку x = b.
Нехай A (x) - робота цієї сили при переміщенні тіла з точки а в точку x. При малому h силу F на відрізку можна вважати постійною і рівною F (x). Тому A (x + h) - A (x) = F (x) h, тобто
A (x + h) - A (x)
Спрямовуючи h до нуля, отримуємо, що A '(x) = F (x), тобто A (x) - первісна для функції F (x). За формулою Ньютона - Лейбніца отримуємо
A (b) = F (x) dx, так як A (a) = 0
Отже, робота сили F (x) при переміщенні тіла з точки a в точку b дорівнює:
A (b) = F (x) dx