Таким чином, для всіх пар визначені inf і sup. Отже, розглянута діаграма Хассе - решітка.
Перевіримо, чи є модулярной дана решітка, розглянемо вершини 2, 4, 5:
Дистрибутивної дана решітка не є, так як вона не є модулярной.
Намалюйте діаграму Хассе решітки дільників числа 14. Утворює чи ця решітка булеву алгебру? При позитивному відповіді визначте число її елементів. Чи є ця універсальна алгебра простий?
Визначимо, чи утворює решітка булеву алгебру. Для булевої алгебри необхідно виконання наступних умов:
1) решітка дистрибутивну,
1) решітка дистрибутивну, так як вона не містить підґратки виду:
Значить, решітка утворює булеву алгебру.
Побудуємо грати конгруенції за наступним принципом:
Зауважимо, що якщо, то цього ж класу повинні належати і елементи 2 і 7, отже отримуємо.
Таким чином, решітка конгруентність має вигляд:
Для того, щоб універсальна алгебра була звичайною, решітка конгруенції повинна містити тільки екстремальні елементи. Отже, УА не є простою.
Позначимо N = á, * ñ - універсальну алгебру натуральних чисел з операцією твори. Розглянемо елементи 384 та 4374 цієї алгебри і позначимо через В подалгебру породжену цими двома елементами.
Чи буде число 60466176 належати цій подалгебре?
Розкладемо число на множники:
У розкладанні присутній елемент менше тих, що утворюють подалгебру, а значить не належить їй, отже, число 60466176 НЕ являтся елементом подалгебри В.
Розглянемо групу відрахувань Z231 адитивної групи цілих чисел Z по модулю числа 231.
Визначте грати конгруенції цієї групи.
Чи є вона простий?
-група відрахувань цілих чисел по модулю 33
Отримаємо наступну грати:
Решітка конгруенції (див. Задачу 2) має наступний вигляд:
Так як решітка конгруенції, крім екстремальних елементів містить і інші, то така універсальна алгебра не є простою.
Чи є універсальна алгебра Z231 з попередньої задачі пряморазложімой?
Отже, дана універсальна алгебра є прямо разложимой.
Утворює чи різноманіття наступна сукупність: груп відрахувань цілих чисел Zn як клас універсальних алгебр?
Ні, тому що не виконується аксіома приналежності твору групи відрахувань класу.
Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Кафедра алгебри та математичної логіки