Імовірність є числова характеристика можливості появи випадкової події. При цьому передбачається, що умови експерименту можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Це нематематичне визначення носить скоріше інтуїтивний характер. Надамо йому більш точний зміст.
Розглянемо деякий випадковий експеримент. Нехай в результаті даного експерименту може відбутися кілька випадків (випадкових подій). Наприклад, при киданні кубика може статися шість різних результатів (може випасти число від 1 до 6).
Назвемо результат сприятливим для випадкової події А. якщо подія А випливає з такого результату. Нехай, наприклад, подія А полягає в тому, що випало на межі кубика число парне. Сприятливими для цієї події будуть три результати експерименту: випадання 2, 4 і 6 очок.
Будемо називати рівно можливими результати, що мають однакові шанси. Равновозможних визначається нестрого, проте вважається інтуїтивно ясним і лише пояснюється прикладами. Для кожного з таких подій характерно те, що жодне з них не є об'єктивно більш можливим, ніж інші. У практичних завданнях дослідник сам вирішує, які події вважати рівноможливими (як правило, виходячи з якоїсь симетрії в умовах завдання).
Визначення: Нехай даний експеримент має N рівно можливих і несумісних результатів. Ймовірністю P (A) події А називається відношення числа сприятливих результатів m (A) до загальної кількості N несумісних рівно можливих випадків:
Дане рівність називається класичним визначенням ймовірності.
Імовірність можна обчислювати у відсотках. Наприклад, вирази P (A) = 90% і P (A) = 0,9 еквівалентні.
Для будь-якого випадкового події А
По-перше, за визначенням ймовірність неотрицательна. По-друге, число сприятливих результатів m (A) не більш загального числа випадків N. Тому,
Приклад 1: В урні знаходяться 4 білих і 6 чорних куль. Яка ймовірність, що вийнятий навмання куля буде білим?
Всього експеримент має десять випадків (можна вийняти будь-який з 10 куль). Сприятливими будуть 4 результату. Значить, ймовірність цієї події дорівнює = 0,4. Відповідно, ймовірність вийняти чорний куля дорівнює 0,6.
Приклад 2. Нехай досвід полягає в послідовному киданні двох кубиків. Знайдемо ймовірність події B - «в сумі випало 8 очок» і ймовірність події C - «в сумі випало 12 очок».
Очевидно, що при киданні двох кубиків всього може бути отримано 36 рівно можливих несумісних результатів: n = 36 (кожному з 6 різних випадків випадання очок на першому кубику відповідає 6 випадків випадання різного числа очок на другому кубику). Події З сприятливий лише один результат: випадок випадання двох «шісток», тому m (C) = 1, і. Події B сприятливі 5 випадків (2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2), і, слідуючи класичним визначенням ймовірності, отримуємо.
Щоб користуватися класичним визначенням ймовірності, потрібно вміти підраховувати загальне число випадків експерименту і число сприятливих результатів. Такий підрахунок зводиться до перебору варіантів, тобто до завдань комбінаторики. Розглянемо, як комбінаторні формули застосовуються в задачах теорії ймовірностей.
Багато випадкові події моделюються експериментами з урною і кулями. Кулі з урни можна діставати по-різному: куля можна кожного разу повертати в урну, а можна цього не робити; вибрані кулі можна впорядковувати або НЕ впорядковувати і т.д. Таким чином, існують різні схеми вибору. У кожній з цих схем загальне число випадків і число сприятливих результатів підраховується по-різному. Розглянемо основні схеми вибору і відповідні завдання.
Завдання 1. (Схема вибору без повернення і впорядкування). В урні 3 білих і 7 чорних куль. Яка ймовірність того, що з чотирьох навмання обраних куль рівно один буде білий? Яка ймовірність, що білих куль буде рівно два?
Рішення: вийняти 4 кулі - це все одно, що вийняти по одній кулі, які не повертаючи їх назад в урну. Тому така ситуація описується схемою без повернення і без упорядкування. Загальна кількість випадків цього випадкового експерименту дорівнює числу способів вибрати 4 кулі з 10, тобто числу поєднань. Таким чином,
У першому випадок при успішному результаті серед чотирьох куль один білий, а інші три - чорні (подія А). Білий м'яч можна вибрати трьома способами (їх всього три), три чорних можна вибрати способами, так як чорних куль в урні сім. Кожен з трьох білих куль може поєднуватися з будь-якої з трійок. Таким чином, сприятливих результатів
Значить, шукана ймовірність
Знайдемо число сприятливих результатів у другому випадку (два білих, два чорних кулі - подія B). Пару білих куль можна вибрати способами. Для пари чорних куль число способів вибору
Кожна пара білих куль може поєднуватися з кожною парою чорних. Тому всього сприятливих результатів m (A) = 3 · 21 = 63. Значить ймовірність другої події (B):
Завдання 2. (Схема вибору без повернення c упорядкуванням). В урні знаходяться картки з цифрами від 0 до 5. Навмання дістають дві картки і складають поспіль. Яка ймовірність того, що отримане двозначне число кратно семи?
Рішення: На відміну від попередньої задачі, тепер важливий порядок, в якому виймають картки, але як і раніше картки в урну не повертають. Значить, в цьому випадку загальне число випадків дорівнює числу розміщень з 6 по 2, тобто Сприятливі результати - це числа 14, 21, 35, 42, тобто m (A) = 4. Отже, шукана ймовірність
Завдання 3. (Схема вибору з поверненням і без упорядкування). В кондитерській продається сім видів тістечок. Черговий покупець вибив чек на чотири тістечок. Знайти ймовірність того, що замовлені:
а) тістечка одного виду;
б) тістечка різних видів;
в) по два тістечка різних видів.
Рішення: Результатом досвіду є всілякі набори з чотирьох тістечок, що відрізняються складом. Набори з одних і тих же тістечок, але розташованих в різному порядку, вважаються однаковими (схема без упорядкування). При цьому окремі набори можуть містити елементи, що повторюються (схема з поверненням). Тому загальне число випадків дорівнює числу сполучень з повтореннями:
У першому випадку сприятливих результатів 7 (набори з тістечок кожного з семи видів). Значить, ймовірність
У другому випадку сприятливими є всілякі набори з чотирьох різних тістечок, вибраних з семи (порядок не важливий). Ясно, що це число поєднань з 7 по 4:
Тому ймовірність другої події
Розглянемо третій випадок. Успішний результат являє собою дві пари однакових тістечок. Таких наборів рівно стільки, скільки різних пар можна скласти з 7 предметів, тобто Значить, ймовірність цієї події
Рішення: Зауважимо, що умова задачі дозволяє будь-які номери (такі, наприклад, як 0012413, 0123456 та навіть 0000000). Оскільки всього цифр 10, а номери семизначні, загальне число номерів одно N = 10 7 = 10000000 (число розміщень з повтореннями з 10 елементів по 7). Сприятливі результати становлять все різні набори з семи цифр, що відрізняються також порядком (число розміщень без повторень з 10 елементів по 7). Значить, сприятливих результатів