Зауважимо, що в силу геометричного сенсу певного інтеграла
З урахуванням цього отримуємо вихідну оцінку певного інтеграла.
Властивість 8. (Теорема про середнє значення). Якщо функцііf (x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що справедливо рівність:
Відзначимо, що геометрично теорема про повну загальну середню означає, що площа криволінійної трапеції дорівнює площі прямокутника зі сторонами f (с) і (b-a). Тому ця теорема має величезне теоретичне значення в обгрунтуванні чисельних методів інтегрування, оскільки, по-суті, основна мета цих методів полягає в тому, щоб якомога точніше вибрати точку с.
3.4. Наближені методи певних інтегралів
Наближені методи обчислення визначених інтегралів заснований на тому, що певний інтеграл можна розглядати як площа криволінійної трапеції. Площа такої трапеції можна обчислити, якщо замінити її більш простий фігурою: сумою прямокутників, трапецією або інших фігурою. Практична значимість таких методів полягає в тому, що точно обчислити визначений інтеграл не завжди вдається. До того ж подинтегральная функція часто дається в табличному або навіть графічному вигляді. У цих випадках можна використовувати тільки наближені методи. Ми познайомимося з двома з них - методом прямокутників і методом трапецій.
3.4.1. метод прямокутників
Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин точками:
де h = (b-a) / n - крок інтегрування. Замінимо дану криволінійну трапецію ступінчастою фігурою, відбутися ящей їх n прямокутників (див. Рис. 3.2). Значення площі цієї фігури і буде давати наближене значення шуканого інтеграла:
Отриманий вираз називається формулою прямокутників.
Як сi можна вибирати як ліві (сi = xi-1), так і праві (сi = xi) межі ділянок розбиття. У цьому випадку площа криволінійної трапеції буде наближено дорівнює сумі площ або лівих, або правих прямокутників. Методи лівих і правих прямокутників дають наближене значення певного інтеграла з точністю, пропорційною кроку інтегрування h. Причому один з методів дає значення інтеграла з надлишком, а інший з недоліком. Тому в якості більш точного значення інтеграла можна взяти середнє арифметичне обох методів, а різниця між ним дасть похибка обчислення. Такий спосіб ми розглянули в прикладі 3.1.
Зазвичай під методом прямокутників розуміється випадок, коли в якості точок сi беруться середини ділянок розбиття, тобто сi = (xi-1 + xi) / 2. В цьому випадку похибка обчислення певного інтеграла буде пропорційна h 2. тобто на порядок вище, ніж у методів лівих або правих прямокутників.
Приклад 3.2. Знайти за формулою прямокутників наближене значення інтеграла
Рішення . Розіб'ємо відрізок [0; 1] на 10 рівних частин. Знайдемо на кожному відрізку середину ci і значення функції в цих точках. складемо таблицю
Похибка становить приблизно 0,0004.
3.4.2. метод трапецій
Другим найбільш простим способом наближеного обчислення визначених інтегралів є метод трапецій, який полягає в тому, що вертикальні смуги замінюючи не прямокутниками, а трапеціями. Іншими словами, графік функції f (x) замінюється ламаною лінією (див. Рис. 3.5).
В результаті, площа всієї фігури буде складатися з площ прямолінійних трапецій. Площа кожної такої трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту:
де yi = f (xi). Тоді квадратурная формула трапецій матиме вигляд
Відзначимо, що похибка чисельного інтегрування визначається кроком інтегрування, для методу трапецій похибка також пропорційна h 2. Зменшуючи крок інтегрування можна домогтися більшої точності обчислень.
Приклад 3.3. Знайти за формулою трапецій наближене значення інтеграла
Рішення . Розіб'ємо відрізок [0; 1] на 10 рівних частин. У кожній точці знайдемо значення функції. складемо таблицю
Похибка становить також приблизно 0,0004.
Питання для самоперевірки
1. Як складаються інтегральні суми?
2. Чи залежить інтегральна сума від способу розбиття відрізка? від способу вибору проміжних точок?
3. Що таке певний інтеграл? У чому він принципово відрізняється від невизначеного?
4. Чи залежить певний інтеграл від способу розбиття відрізка? від способу вибору проміжних точок?
5. Наведіть і доведіть лінійне властивість певних інтегралів?
6. Сформулюйте властивості визначеного інтеграла, не характерні для невизначених інтегралів?
7. Опишіть метод прямокутників чисельного обчислення певних інтегралів?
8. Опишіть метод трапецій чисельного обчислення певних інтегралів?
ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ
1. Нехай залежність обсягу продажів даного товару від часу задана функцією
Тоді загальний обсяг продажів Q дорівнює площі заштрихованої фігури (рис.3.6), тобто знову площі криволінійної трапеції, і ми можемо застосувати той же метод вичерпання для наближеного знаходження Q. Обчислити методом вичерпування площа криволінійної трапеції Q.
2. Обчислити за формулами прямокутників і трапецій для n = 10 інтеграли:
3. Знайти максимальне значення інтегральної суми функції на відрізку
[0; 1], якщо число відрізків розбиття дорівнює 4.
4. Не вважаючи інтегралів, з'ясувати, який з дитинства інтегралів більше: