Випадкові події. імовірність події
Класичне визначення ймовірності
Ймовірністю події А Р (A) називається відношення числа сприятливих цій події результатів m до загальної кількості всіх єдино можливих і рівно можливих елементарних фіналів n, Р (A) =.
З 20 екзаменаційних білетів 3 містять прості питання. П'ять студентів по черзі беруть квитки. Знайти ймовірність того, що хоча б одному з них дістанеться квиток з простими запитаннями.
Для початку знайдемо ймовірність того, що ні одному зі студентів не дістанеться квиток з простими запитаннями.
Ця ймовірність дорівнює
Перша дріб показує ймовірність того, що першому студенту дістався квиток зі складними питаннями (їх 17 з 20)
Друга дріб показує ймовірність того, що другого студенту дістався квиток зі складними питаннями (їх залишилося 16 з 19)
Третя дріб показує ймовірність того, що третього студенту дістався квиток зі складними питаннями (їх залишилося 15 з 18)
І так далі до п'ятого студента. Ймовірності перемножуються тому за умовою потрібно одночасне виконання цих умов.
Щоб отримати можливість того, що хоча б одному зі студентів дістанеться квиток з простими питаннями треба відняти отриману вище ймовірність з одиниці.
Задача2
З безлічі всіх послідовностей довжини 10, що складаються з цифр 0; 1; 2; 3, навмання вибирається одна. Яка ймовірність того, що вибрана послідовність містить рівно 5 нулів, причому два з них знаходяться на кінцях послідовності. Рішення
Імовірність події A - «Обрана послідовність містить рівно 5 нулів, причому два з них знаходяться на кінцях послідовності», згідно з класичним визначенням, дорівнює P (A) =, де n - повне число рівно можливих випадків; m - число випадків, що сприяють події A.
Число способів заповнити 10 позицій в послідовності цифрами 0; 1; 2; 3 становить, з урахуванням можливості повторення цифр, n = 410 = 220 = 1048576.
Число способів розмістити 5 нулів на 10 позиціях в послідовності за умови, що нулі обов'язково знаходяться на першому і десятому місці в послідовності, дорівнює числу способів розмістити три нуля на восьми вільних позиціях в послідовності і дорівнює числу сполучень з 8 елементів по 3: = = 56 .
Решта 8 - 3 = 5 позицій в послідовності будуть заповнені цифрами 1; 2; 3. Число способів здійснити це, з урахуванням можливості повторення, дорівнює 35 = 243.
Т.ч. число випадків, що сприяють події A. одно m = × 35 = 56 × 243 = 13608.
Шукана ймовірність події A дорівнює:
P (A) = = 0,013.
Відповідь: P (A) = = 0,013.
Завдання 3.
Є 100 однакових деталей, серед яких 3 бракованих. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь без шлюбу.
Рішення. У цьому завданні проводиться випробування - витягується одна деталь. Число всіх результатів випробування дорівнює 100, т. К. Може бути взята будь-яка деталь з 100. Ці результати несумісні, рівноможливими, єдино можливі. Таким чином, Подія - з'явилася деталь без шлюбу. Всього в партії 97 деталей без шлюбу, отже, число випадків, сприятливих появі події А дорівнює 97. Отже, Тоді
Завдання 4.
Код банківського сейфа складається з 6 цифр. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний код містить різні цифри? Рішення. Так як на кожному з шести місць в шестизначний шифр може стояти кожна з десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всіх різних шестизначних номерів за правилом твори буде. Номери, в яких всі цифри різні, - це розміщення з 10 елементів (10 цифр) по 6. Тому число сприятливих результатів. Шукана ймовірність дорівнює
Завдання 5.
Між шістьма фірмами (А, Б, В, Г, Д, Е), що займаються продажем комп'ютерної техніки, проводиться жеребкування на предмет черговості пред'явлення своєї продукції на виставці потенційним споживачам. Яка ймовірність того, що черга буде вибудувана по порядку, т. Е. А, Б, В, Г, Д, Е? Рішення. Результат випробування - випадкове розташування фірм в черзі. Число всіх можливих результатів дорівнює числу всіх перестановок з шести елементів (фірм), тобто Число випадків, що сприяють події: m = 1, якщо чергу вибудувана по порядку. тоді
Завдання 6.
У компанії 10 акціонерів, з них троє мають привілейовані акції. На збори акціонерів стало 6 осіб. Знайти ймовірність того, що серед з'явилися акціонерів:
а) всі троє акціонерів з привілейованими акціями відсутні;
б) двоє присутні і один не з'явився. Рішення
а) випробуванням є відбір 6 осіб з 10 акціонерів. Число всіх результатів випробування дорівнює числу сполучень з 10 по 6, т. Е.
Нехай подія - серед шести осіб немає жодного з привілейованими акціями. Вихід, котрий сприяє події, - відбір шести чоловік серед семи акціонерів, які не мають привілейованих акцій. Число всіх результатів, що сприяють події А. буде
шукана ймовірність
б) нехай подія - серед шести з'явилися акціонерів двоє з привілейованими акціями, а інші чотири - з загальними акціями. Число всіх результатів, число способів вибору двох осіб з необхідних трьох Число способів вибору останніх чотирьох акціонерів серед семи з загальними акціями Тоді число всіх способів відбору за правилом твори
Шукана ймовірність дорівнює
підручники
Пропонуємо найбільш хороші на наш погляд підручники для самостійного вивчення математики та економіки
Довідники
Компактні довідкові матеріали, формули з різних розділів вищої математики та економічної статистики.