Трикутник Рело має осьову симетрію. Він має три осі симетрії другого порядку, кожна з яких проходить через вершину трикутника і середину протилежної дуги, а також одну вісь симетрії третього порядку, перпендикулярну площині трикутника і проходить через його центр [* 3]. Таким чином, група симетрій трикутника Рело складається з шести відображень (включаючи тотожне) і збігається з групою D 3> симетрій правильного трикутника.
побудова циркулем
Трикутник Рело можна побудувати за допомогою одного тільки циркуля. не вдаючись до лінійки. Це побудова зводиться до послідовного проведення трьох рівних кіл. Центр першої вибирається довільно, центром другий може бути будь-яка точка першої окружності, а центром третьої - будь-яка з двох точок перетину перших двох кіл.
Властивості, загальні для всіх фігур постійної ширини
Оскільки трикутник Рело є фігурою постійної ширини, він має всі загальні властивості фігур цього класу. Зокрема,
- з кожної зі своїх опорних прямих трикутник Рело має лише по одній загальній точці [14];
- відстань між двома будь-якими точками трикутника Рело ширини a не може перевищувати a [15];
- відрізок, що з'єднує точки дотику двох паралельних опорних прямих до трикутника Рело, перпендикулярний до цих опорних прямим [16];
- через будь-яку точку межі трикутника Рело проходить принаймні одна опорна пряма [17];
- через кожну точку P межі трикутника Рело проходить охоплює його коло радіуса a [* 4]. причому опорна пряма, проведена до трикутника Рело через точку P. є дотичною до цього кола [18];
- радіус кола, що має не менш трьох спільних точок з кордоном трикутника Рело ширини a. не перевищує a [19];
- по теоремі Ханфріда Ленца [de] про множини постійної ширини трикутник Рело можна розділити на дві фігури, діаметр яких був би менше ширини самого трикутника [20] [21];
- трикутник Рело, як і будь-яку іншу фігуру постійної ширини, можна вписати в квадрат [22]. а також в правильний шестикутник [23];
- по теоремі Барб'є формула периметра трикутника Рело справедлива для всіх фігур постійної ширини [24] [25] [26].
Екстремальні властивості
найменша площа
Щоб знайти площу трикутника Рело, можна скласти площа внутрішнього рівностороннього трикутника
і площа трьох, що залишилися однакових кругових сегментів. спираються на кут в 60 °
Фігура, що володіє протилежним екстремальним властивістю - коло. Серед усіх фігур цієї постійної ширини його площа
максимальна [39] [* 5]. Площа відповідного трикутника Рело менше на ≈10,27%. У цих межах лежать площі всіх інших фігур даної постійної ширини.
найменший кут
Через кожну вершину трикутника Рело, на відміну від інших його граничних точок, проходить не одна опорна пряма. а безліч опорних прямих. Перетинаючись в вершині, вони утворюють «пучок». Кут між крайніми прямими цього «пучка» називається кутом при вершині. Для фігур постійної ширини кут при вершинах не може бути менше 120 °. Єдина фігура постійної ширини, що має кути, рівні в точності 120 ° - це трикутник Рело [4].
Найменша центральна симетрія
Трикутник Рело (бежевий) і його образ при центральній симетрії щодо свого центру (заштрихован). Найбільша центрально-симетрична фігура, в ньому міститься (вигнутий шестикутник), і найменша центрально-симетрична, його містить (правильний шестикутник) виділені жирною лінією
З усіх фігур постійної ширини трикутник Рело має центральну симетрію в найменшій мірі [5] [40] [41] [42] [43]. Існує кілька різних способів дати визначення ступеня симетричності фігури. Один з них - це міра Ковнера - Безиковича. У загальному випадку для опуклою фігури C вона дорівнює
де μ - площа фігури, A - міститься в C центрально-симетрична опукла фігура максимальної площі. Для трикутника Рело такою фігурою є шестикутник з викривленими сторонами, що представляє собою перетин цього трикутника Рело зі своїм образом при центральній симетрії щодо свого центру [* 3]. Міра Ковнера - Безиковича для трикутника Рело дорівнює
Інший спосіб - це міра Естерманна
де B - містить C центрально-симетрична фігура мінімальної площі. Для трикутника Рело B - це правильний шестикутник. тому міра Естерманна дорівнює
Для центрально-симетричних фігур заходи Ковнера - Безиковича і Естерманна рівні одиниці. Серед постатей постійної ширини центральної симетрією володіє тільки коло [25]. який (разом з трикутником Рело) і обмежує область можливих значень їх симетричності.
Кочення по квадрату
Кочення трикутника Рело по квадрату
Будь-яка фігура постійної ширини вписана в квадрат зі стороною, рівною ширині фігури, причому напрямок сторін квадрата може бути вибрано довільно [22] [* 6]. Трикутник Рело - не виняток, він вписаний в квадрат і може обертатися в ньому, постійно торкаючись всіх чотирьох сторін [44].
Кожна вершина трикутника при його обертанні «проходить» майже весь периметр квадрата, відхиляючись від цієї траєкторії лише в кутах - там вершина описує дугу еліпса. Центр цього еліпса розташований в протилежному кутку квадрата, а його велика і мала осі повернені на кут в 45 ° щодо сторін квадрата і рівні
де a - ширина трикутника [45]. Кожен з чотирьох еліпсів стосується двох суміжних сторін квадрата на відстані
Еліпс (виділено червоним кольором), окреслює один з кутів фігури (її межа виділена чорним кольором), яку покриває трикутник Рело при обертанні в квадраті
Кут покривається обертанням фігури. Підписані точки дотику сторін квадрата з еліпсом. Світло-жовтим показаний не порушене обертанням кут квадрата
Центр трикутника Рело при обертанні рухається по траєкторії, складеної з чотирьох однакових дуг еліпсів. Центри цих еліпсів розташовані в вершинах квадрата, а осі повернені на кут в 45 ° щодо сторін квадрата і рівні
Іноді для механізмів, що реалізують на практиці таке обертання трикутника, як траєкторії центру вибирають не склейку з чотирьох дуг еліпсів, а близьку до неї коло [46].
Еліпс (виділено червоним кольором), окреслює одну четверту кривої, по якій рухається центр трикутника Рело при обертанні в квадраті
Траєкторія центру трикутника Рело при обертанні в квадраті. Виділено точки сполучення чотирьох дуг еліпсів. Для порівняння показана окружність (синім кольором), що проходить через ці ж чотири точки
Площа кожного з чотирьох не порушених обертанням куточків дорівнює
і, віднімаючи їх з площі квадрата, можна отримати площу фігури, яку утворює трикутник Рело при обертанні в ньому
Різниця з площею квадрата становить ≈1,2%, тому на основі трикутника Рело створюють свердла. що дозволяють отримувати майже квадратні отвори [45].
Свердління квадратних в перетині до осі фрези отворів
«Ми всі чули про гайкових ключах. пристосованих для гайок з лівим різьбленням, зав'язаних у вузол водопровідних трубах і бананах з чавуну. Ми вважали подібні речі смішними дрібничками і відмовлялися навіть вірити, що вони коли-небудь зустрінуться нам в дійсності. І раптом з'являється інструмент, що дозволяє свердлити квадратні отвори! »
Фреза з перетином у вигляді трикутника Рело і ріжучими лезами, що збігаються з його вершинами, дозволяє отримувати майже квадратні отвори. Відмінність таких отворів від квадрата в перерізі складається лише в трохи округлених кутах [50]. Інша особливість подібної фрези полягає в тому, що його вісь при обертанні не повинна залишатися на місці, як це відбувається у випадку традиційних спіральних свердел, а описує в площині перетину криву, що складається з чотирьох дуг еліпсів. Тому патрон. в якому затиснута фреза, і кріплення інструменту не повинно перешкоджати цьому руху [45].
Вперше реалізувати подібну конструкцію кріплення інструменту вдалося Гаррі Уаттсу, англійської інженеру, який працював в США. Для цього він використовував направляючу пластину з отвором у вигляді квадрата, в якому могло радіально переміщатися свердло, затиснуте в «плаваючому патроні» [50]. Патенти на патрон [51] і свердло [52] були отримані Уаттсом в 1917 році. Продаж нових дрилів здійснювала фірма Watts Brothers Tool Works [en] [53] [54]. Ще один патент США на схоже винахід був виданий в 1978 році [55].
двигун Ванкеля
Схема роботи двигуна Ванкеля
Інший приклад використання можна знайти в двигуні Ванкеля. ротор цього двигуна виконаний у вигляді трикутника Рело [6]. Він обертається усередині камери, поверхня якої виконана по епітрохоїді [56]. Вал ротора жорстко з'єднаний з зубчастим колесом. яке зчеплене з нерухомою шестернею. Такий тригранний ротор обкатується навколо шестерні, весь час торкаючись вершинами внутрішніх стінок двигуна і утворюючи три області змінного обсягу. кожна з яких по черзі є камерою згоряння [6]. Завдяки цьому двигун виконує три повних робочих циклу за один оборот.
грейферний механізм
Рамочно-кулачковий грейферний механізм кінопроектора «Луч-2»
Ще одне застосування трикутника Рело в механіці - це грейферний механізм. здійснює покадровое переміщення плівки в кінопроекторах. Грейфер проектора «Луч-2», наприклад, заснований на трикутнику Рело, який вписаний в рамку-квадрат і закріплений на подвійному параллелограмме. Обертаючись навколо валу приводу. трикутник рухає рамку з розташованим на ній зубом. Зуб входить в перфорацію кіноплівки, протягує її на один кадр вниз і виходить назад, піднімаючись потім до початку циклу. Його траєкторія тим ближче до квадрату, чим ближче до вершини трикутника закріплений вал (ідеально квадратна траєкторія дозволила б проектувати кадр протягом ¾ циклу) [6] [57] [58].
Існує й інша конструкція грейфера, також заснована на трикутнику Рело. Як і в першому випадку, рамка цього грейфера здійснює зворотно-поступальний рух, однак її рухає не один, а два кулачка, робота яких синхронізована за допомогою зубчастої передачі [28].
Кришки для люків
Кришка люка для уведеннях води в Сан-Франциско
У формі трикутника Рело можна виготовляти кришки для люків - завдяки постійній ширині вони не можуть провалитися в люк [59].
У Сан-Франциско. для системи рекуперірованія води [en] корпуси люків мають форму трикутника Рело, але їх кришки мають форму рівностороннього трикутника.
кулачковий механізм
Для переміщення важких предметів на невеликі відстані можна використовувати не тільки колісні, але і більш прості конструкції, наприклад, циліндричні катки [66]. Для цього вантаж потрібно розташувати на плоскій підставці, встановленої на ковзанках, а потім штовхати його. Із звільненням задніх котків їх необхідно переносити і класти спереду [67] [66]. Такий спосіб транспортування людство використало до винаходу колеса.
При цьому переміщенні важливо, щоб вантаж не рухався вгору і вниз, так як тряска вимагатиме додаткових зусиль від штовхає [67]. Для того, щоб рух по ковзанках було прямолінійним. їх розмір слід представляти собою фігуру постійної ширини [67] [68]. Найчастіше перетином був коло. адже катками служили звичайні колоди. Однак розтин у вигляді трикутника Рело буде нітрохи не гірше і дозволить пересувати предмети настільки ж прямолінійно [6] [67].
Незважаючи на те, що катки в формі трикутника Рело дозволяють плавно переміщати предмети, така форма не підходить для виготовлення коліс, оскільки трикутник Рело не має фіксованої осі обертання [69].
Трикутник Рело - поширена форма плектра (медіатора): тонкої пластинки, призначеної для гри на струнах щипкових музичних інструментів.
Трикутник Рело в мистецтві
архітектура
Форма трикутника Рело використовується і в архітектурних цілях. Конструкція з двох його дуг утворює характерну для готичного стилю стрілчасті арку. проте цілком він зустрічається в готичних спорудах досить рідко [70] [71]. Вікна в формі трикутника Рело можна виявити в церкві Богоматері в Брюгге [9]. а також в шотландської церкви в Аделаїді [71]. Як елемент орнаменту він зустрічається на віконних ґратах цистерцианского абатства в швейцарській комуні Отрів [fr] [70].
Деякі приклади використання
