Гілкою називається ділянку ланцюга, обтічний одним і тим же струмом.
Вузол - місце з'єднання трьох і більше гілок.
Представлені схеми різні і за формою, і за призначенням, але кожна із зазначених ланцюгів містить по 6 гілок і 4 вузли, однаково з'єднаних. Таким чином, в сенсі геометрії (топології) з'єднань гілок дані схеми ідентичні.
Топологічні (геометричні) властивості електричної ланцюзі не залежать від типу і властивостей елементів, з яких складається гілка. Тому доцільно кожну гілку схеми електричного кола зобразити відрізком лінії. Якщо кожну гілку схем на рис. 1 і 2 замінити відрізком лінії, виходить геометрична фігура, показана на рис. 3.
Умовне зображення схеми, в якому кожна гілка замінюється відрізком лінії, називається графом електричного кола. При цьому слід пам'ятати, що гілки можуть складатися з будь-яких елементів, в свою чергу з'єднаних різним чином.
Відрізок лінії, відповідний гілки схеми, називається гілкою графа. Граничні точки гілки графа називають вузлами графа. Гілкам графа може бути дана певна орієнтація, зазначена стрілкою. Граф, у якого всі гілки орієнтовані, називається орієнтованим.
Подграфом графа називається частина графа, тобто це може бути одна гілка або один ізольований вузол графа, а також будь-яка множина гілок і вузлів, що містяться в графі.
У теорії електричних ланцюгів важливе значення мають такі підграфи:
1. Шлях - це впорядкована послідовність гілок, в якій кожні дві сусідні гілки мають загальний вузол, причому кожна гілка і будь-який вузол зустрічаються на цьому шляху тільки один раз. Наприклад, в схемі на рис. 3 гілки 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 утворюють шляху між однією і тією ж парою вузлів 1 і 3. Таким чином, шлях - це сукупність гілок, прохідних безперервно.
2. Контур - замкнутий шлях, в якому один з вузлів є початковим і кінцевим вузлом шляху. Наприклад, для графа по рис. 3 можна визначити контури, утворені гілками 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Якщо між будь-якою парою вузлів графа існує зв'язок, то граф називають зв'язковим.
3. Дерево - це зв'язний підграф, що містить всі вузли графа, але жодного контура. Прикладами дерев для графа на рис. 3 можуть служити фігури на рис. 4.
4. Гілки зв'язку (доповнення дерева) - це гілки графа, що доповнюють дерево до вихідного графа.
Якщо граф містить m вузлів і n гілок, то число гілок будь-якого дерева, а числа гілок зв'язку графа.
5. Перетин графа - безліч гілок, видалення яких ділить граф на два ізольованих подграфа, один з яких, зокрема, може бути окремим вузлом.
Перетин можна наочно зобразити у вигляді сліду деякої замкнутої поверхні, що розтинає відповідні гілки. Прикладами таких поверхонь є для нашого графа на рис. 3 S1 іS2. При цьому отримуємо відповідно перетину, утворені гілками 6-4-5і 6-2-1-5.
З поняттям дерева пов'язані поняття головних контурів і перетинів:
- головний контур - контур, що складається з гілок дерева і тільки однієї гілки зв'язку;
- головне перетин - перетин, що складається з гілок зв'язку і тільки однієї гілки дерева.
Задати обчислювальній машині топологію ланцюга малюнком важко, так як не існує ефективних програм розпізнавання образу. Тому топологію ланцюга вводять в ЕОМ у вигляді матриць, які називають топологічними матрицями. Виділяють три таких матриці: вузлову матрицю, контурну матрицю і матрицю перетинів.
1. Вузлова матриця (матриця з'єднань) - це таблиця коефіцієнтів рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа. Рядки цієї матриці відповідають вузлам, а стовпці - гілкам схеми.
Для графа на рис. 3 маємо число вузлів m = 4 і число гілок n = 6. Тоді запишемо матрицю АН. приймаючи, що елемент матриці (i-номер рядка; j-номер стовпця) дорівнює 1. якщо гілка j з'єднана з вузлом i і орієнтована від нього, -1. якщо спрямована до нього, і 0. Якщо гілка j не вставлений у вузлом i. Зорієнтувавши гілки графа на рис. 3, отримаємо
Число рядків матриці А дорівнює числу незалежних рівнянь для вузлів, тобто числу рівнянь, записуваних для електричної схеми за першим законом Кірхгофа. Отже, ввівши поняття вузловий матриці А. перейдемо до першого закону Кірхгофа.
Перший закон Кірхгофа
Зазвичай перший закон Кірхгофа записується для вузлів схеми, але, строго кажучи, він справедливий не тільки для вузлів, але і для будь-якої замкнутої поверхні, тобто справедливо співвідношення
де - вектор щільності струму; - нормаль до ділянки dS замкнутої поверхні S.
Перший закон Кірхгофа справедливий і для будь-якого перетину. Зокрема, для перетину S2 графа на рис. 3, вважаючи, що нумерація і напрямки струмів в гілках відповідають нумерації і обраної орієнтації гілок графа, можна записати
Оскільки в окремому випадку гілки перетину сходяться в вузлі, то перший закон Кірхгофа справедливий і для нього. Поки будемо застосовувати перший закон Кірхгофа для вузлів, що математично можна записати, як:
тобто алгебраїчна сума струмів гілок, з'єднаних у вузол, дорівнює нулю.
При цьому при розрахунках рівняння за першим законом Кірхгофа записуються для (m-1) вузлів, так як при запису рівнянь для всіх m вузлів одне (будь-яке) з них буде лінійно залежним від інших, тобто не дає додаткової інформації.
Введемо столбцовую матрицю струмів гілок
які, зокрема, можна використовувати для перевірки правильності складання цих матриць. Тут 0 - нульова матриця порядку.
Наведені рівняння дозволяють зробити важливий висновок: знаючи одну з топологічних матриць, по її структурі можна відновити інші.
1. Теоретичні основи електротехніки. Т.1. Основи теорії лінійних ланцюгів. / Под ред. П.А.Іонкіна. Підручник для електротехн. вузів. Изд.2-е. перераб. і доп. -М. Вища. шк. 1976.-544с.
3. Основи теорії кіл: Учеб. для вузів /Г.В.Зевеке, П.А.Іонкін, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е вид. перераб. -М. Вища школа, 1989. -528с.
Контрольні питання і завдання
- Сформулюйте основні топологічні поняття для електричних ланцюгів.
- Що таке вузлова матриця?
- Що таке контурна матриця?
- Що таке матриця перетинів?
- Токи гілок деякої планарной ланцюга задовольняють наступній повній системі незалежних рівнянь:
Відновивши граф ланцюга, скласти матриці головних контурів і перетинів, прийнявши, що гілкам дерева присвоєні перші номери.