Квантовий висновок вираження тиску ідеального газу (доп. Мат.)
Розглянемо тепер стан ідеального газу з квантової точки зору. Нехай частка маси m знаходиться у водонепроникному ящику розміром Lx'Ly'Lz. Її енергія дорівнює. На відміну від класичного опису станів частинки, квантово-механічне розгляд показує, що проекції імпульсу можуть приймати тільки дискретний ряд значень: ;; тут Цеобставина призводить до квантування енергії частинки. Можливі значення енергії:
(22)
Формула (22) показує, що енергія будь-якого рівня залежить від розмірів ящика. Припустимо, одну зі стінок ящика (наприклад, перпендикулярну осі OX) замінили поршнем. При зменшенні обсягу ящика поршнем енергія частинки буде збільшуватися. Значить, щоб стиснути область під поршнем треба зробити роботу проти сили тиску частинки на стінку. Ця сила дорівнює мінус похідною від енергії за розміром Lx.
(23)
Верхній індекс "1" у сили тиску означає, що це сила тиску однієї частинки. У стані термодинамічної рівноваги при тепловому взаємодії частинки зі стінкою і, через неї, з тепловим резервуаром відбувається безперервний перехід з рівня на рівень. Тиск флуктуірует. Середнє значення сили тиску частинки на стінку одно
(24)
Далі звернемо увагу на те, що в рівновазі
(25)
Таким чином, в стані рівноваги сила тиску однієї частки на стінку може бути виражена через середню енергію
. (26)
Якщо в ящику N молекул, то сила тиску в N раз більше:
(27)
Так як площа стінки дорівнює LyLz. то тиск P = Fx / LyLz виявляється точно таким же, як дає класичний розрахунок
В остаточний вираз тиску не входить інформація ні про масу, ні про будову молекули. Воно справедливо для молекул будь-якого газу. Якщо в ящику є суміш двох газів з об'ємними плотностями n1 іn2. відповідно до моделі ідеального газу взаємодії між молекулами обох сортів дуже малий, і кожна з компонент створює тиск незалежно від іншої. Результуючий тиск суміші газів можна розрахувати так:
Закон Дальтонагласіт, що тиск, що створюється сумішшю газів, дорівнює сумі тисків, створюваних кожної компонентою суміші (кожна компонента створює тиск так, як ніби інших компонентів суміші немає).
Досвід по смятию консервної банки атмосферним тиском є вражаючою ілюстрацією закону Дальтона. Банку з маленьким отвором заповнюється на 1/4 водою. Воду протягом довгого часу кип'ятять. У просторі над водою газ являє собою суміш водяної пари і повітря. Так як суміш повідомляється з атмосферою через отвір, вона має атмосферний тиск. При хорошому притоці тепла температура суміші виявляється тільки трохи нижче 1000. При такій температурі тиск пари майже дорівнює атмосферному. Парціальний тиск повітря в суміші виявляється надзвичайно низьким. При охолодженні щільно закритій банки водяна пара конденсується. Тиск водяної пари, а значить, і тиск суміші стає дуже низьким. Атмосферний тиск мне банку.