Будь-яка система математичних аксіом починаючи з певного рівня складності або внутрішньо суперечлива, або неповна.
У 1900 році в Парижі пройшла Всесвітня конференція математиків, на якій Давид Гільберт (David Hilbert, 1862-1943) виклав у вигляді тез сформульовані ним 23 найважливіші, на його думку, завдання, які треба було вирішити вченим-теоретикам наступаючого ХХ століття. Під другим номером у його списку значилася одна з тих простих завдань, відповідь на які здається очевидним, поки не копнеш трішечки глибше. Говорячи сучасною мовою, це було питання: самодостатня чи математика? Друге завдання Гільберта зводилася до необхідності суворо довести, що система аксіом - базових тверджень, прийнятих в математиці за основу без доказів, - досконала і повна, тобто дозволяє математично описати все суще. Треба було довести, що можна задати таку систему аксіом, що вони будуть, по-перше, взаємно несуперечливі, а по-друге, з них можна зробити висновок щодо істинності чи хибності будь-якого затвердження.
Візьмемо приклад зі шкільної геометрії. У стандартній Евклідовій планіметрії (геометрії на площині) можна беззастережно довести, що твердження «сума кутів трикутника дорівнює 180 °» істинно, а твердження «сума кутів трикутника дорівнює 137 °» помилково. Якщо говорити по суті, то в Евклідовій геометрії будь-яке твердження або помилково, або істинно, і третього не дано. І на початку ХХ століття математики наївно вважали, що така ж ситуація повинна спостерігатися в будь-який логічно несуперечливої системі.
«Якщо можна довести твердження A, то можна довести і твердження не-A».
Іншими словами, якщо можна довести справедливість твердження «припущення 247 недоказово», то можна довести і справедливість твердження «припущення 247 доказово». Тобто, повертаючись до формулювання другого завдання Гільберта, якщо система аксіом повна (тобто будь-яке твердження в ній може бути доведено), то вона суперечлива.
Єдиним виходом з такої ситуації залишається прийняття неповної системи аксіом. Тобто, доводиться миритися з тим, що в контексті будь-якої логічної системи у нас залишаться затвердження «типу А», які є свідомо істинними або помилковими, - і ми можемо судити про їх істинності лише поза рамками прийнятої нами аксіоматики. Якщо ж таких тверджень немає, значить, наша аксіоматика суперечлива, і в її рамках неминуче будуть присутні формулювання, які можна одночасно і довести, і спростувати.
Отже, формулювання першої, або слабкою теореми Геделя про неповноту: «Будь-яка формальна система аксіом містить недозволені припущення». Але на цьому Гедель не зупинився, сформулювавши і довівши другу, або сильну теорему Геделя про неповноту: «Логічна повнота (або неповнота) будь-якої системи аксіом не може бути доведена в рамках цієї системи. Для її доведення або спростування потрібні додаткові аксіоми (посилення системи) ».
Спокійніше було б думати, що теореми Геделя носять абстрактний характер і стосуються не нас, а лише областей піднесеної математичної логіки, проте фактично виявилося, що вони безпосередньо пов'язані з будовою людського мозку. Англійський математик і фізик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показав, що теореми Геделя можна використовувати для доказу наявності принципових відмінностей між людським мозком і комп'ютером. Сенс його міркування простий. Комп'ютер діє строго логічно і не здатний визначити, істинно або хибно твердження А, якщо воно виходить за рамки аксіоматики, а такі твердження, згідно з теоремою Геделя, неминуче є. Людина ж, зіткнувшись з таким логічно недоказовим і незаперечним твердженням А, завжди здатний визначити його істинність або хибність - виходячи з повсякденного досвіду. По крайней мере, в цьому людський мозок перевершує комп'ютер, скутий чистими логічними схемами. Людський мозок здатний зрозуміти всю глибину істини, укладеної в теоремах Геделя, а комп'ютерний - ніколи. Отже, людський мозок являє собою що завгодно, але не просто комп'ютер. Він здатний приймати рішення, і тест Тьюринга пройде успішно.
Цікаво, здогадувався Гільберт, як далеко заведуть нас його питання?
Курт Гедель
Kurt Gödel, 1906-78
У 1930 році Курт Гедель довів дві теореми, які в перекладі з математичного мови на людський означають приблизно наступне: Будь-яка система аксіом, досить багата, щоб з її допомогою можна було визначити арифметику, буде або не повна, або суперечлива. Чи не повна система - це значить, що в системі можна сформулювати твердження, яке засобами цієї системи не можна ні довести, ні спростувати. Але Бог, за визначенням, є кінцева причина всіх причин. З точки зору математики це означає, що введення аксіоми про Бога робить всю нашу аксіоматику повній. Якщо є Бог, значить будь-яке твердження можна або довести, або спростувати, посилаючись, так чи інакше, на Бога. Але по Геделя повна система аксіом неминуче суперечлива. Тобто, якщо ми вважаємо, що Бог існує, то ми змушені прийти до висновку, що в природі можливі протиріччя. А оскільки протиріч немає, інакше б весь наш світ розсипався від цих протиріч, доводитися прийти до висновку, що існування Бога не сумісно з існуванням природи.
Лекції літньої школи «Сучасна математика», м Дубна.