Інструкція. Для отримання онлайн рішення необхідно вибрати
Спільна система лінійних рівнянь має єдине рішення, якщо ранг цієї системи дорівнює кількості змінних.
Спільна система лінійних рівнянь має безліч рішень, якщо ранг цієї системи буде меншою за кількість змінних.
Приклад №1. Дослідити систему алгебраїчних рівнянь (без безпосереднього вирішення системи) за допомогою теореми Кронекера-Капеллі.
Запишемо систему у вигляді:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Додамо 2-у рядок до 1-ої:
Додамо 3-й рядок до 2-ий:
Помножимо 3-й рядок на (2). Додамо 4-ї рядок до 3-ої:
Помножимо 1-у рядок на (3). Помножимо 2-у рядок на (-1). Додамо 2-у рядок до 1-ої:
Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-ий:
Додамо 2-у рядок до 1-ої:
Це відповідає системі:
-3x2 + 9x3 = 6
-4x1 + 5x2 + 7x3 - 10x4 = 0
За базисні змінні приймемо x1 і x2. Тоді вільні x3, x4.
Приклад №2.
Запишемо систему у вигляді:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Помножимо 2-у рядок на (-1). Додамо 2-у рядок до 1-ої:
Помножимо 2-у рядок на (2). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-ий:
Помножимо 3-й рядок на (3). Помножимо 4-ї рядок на (-2). Додамо 4-ї рядок до 3-ої:
Додамо 2-у рядок до 1-ої:
Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-ий:
Додамо 2-у рядок до 1-ої:
3x2 -2x3 - 3x4 = 10
3x1 -x2 -2x3 = 1
Необхідно змінні x3, x4 прийняти в якості вільних змінних і через них висловити базисні - x1. x2.
Приклад №3. Дана система лінійних рівнянь у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих. За якої умови ця система має єдине рішення?
Відповідь: Система має єдине рішення, якщо ранг цієї системи буде дорівнює кількості змінних.