1) Вивчення додаткової літератури по темі «Ступінь».
2) Розширення знань історичних відомостей з математики.
3) Розширити свої пізнавальні можливості.
4) Формування навичок роботи з комп'ютером та Інтернетом.
- Застосування ступеня у древніх народів.
- Діофант і його «Арифметика».
- Микола Орема і «Алгорізм пропорцій».
- Рівність а 0 = 1.
5. Внесок європейських математиків в розвиток поняття ступеня.
Додавання, віднімання, множення і ділення йдуть першими в списку арифметичних дій. У математиків не відразу склалося уявлення про зведення в ступінь як про самостійну операції, хоча в самих древніх математичних текстах Стародавнього Єгипту і Межиріччя зустрічаються завдання на обчислення ступенів. Квадрат і куб числа використовувалися для обчислення площ і обсягів. Ступені деяких чисел використовувалися при вирішенні окремих завдань вченими Стародавнього Єгипту і Вавилона.
У своїй знаменитій «Арифметиці» Діофант Олександрійський описує перші натуральні ступеня чисел так:
«Все числа ... складаються з деякої кількості одиниць; ясно, що вони тривають, збільшуючись до нескінченності. ... серед них знаходяться: квадрати, що виходять від множення деякого числа самого на себе; це ж число називається стороною квадрата, потім куби, що виходять від множення квадратів на їх сторону, далі квадрато-квадрати - від множення квадратів самих на себе, далі квадрато-куби, що виходять від множення квадрата на куб його боку, далі кубо-куби - від множення кубів самих на себе ». (Слайди 4 - 7)
З практики вирішення складніших алгебраїчних задач і оперування зі ступенями виникла необхідність узагальнення поняття ступеня та розширення його за допомогою введення в якості показника нуля, негативних і дробових чисел. До ідеї узагальнення поняття ступеня на ступінь з ненатуральних показником математики прийшли поступово. (Слайд 8)
Дробові показники ступеня і найбільш прості правила дії над степенями з дробовими показниками зустрічаються у французького математика Миколи Орема (1323-1382 рр.) В його праці "Алгорізм пропорцій". (Слайд 9)
Рівність, а 0 = 1 (для а не рівного 0) застосовував в своїх працях на початку ХV століття самаркандський вчений Гіясаддін Каші Джемшид. Незалежно від нього нульовий показник був введений Миколою Шюке в ХV столітті. Француз, бакалавр медицини Нікола Шюке (? - близько 1500 р) сміливо ввів в свою символіку не тільки нульовий, а й негативний показник ступеня. Він писав його дрібним шрифтом зверху і праворуч від коефіцієнта. (Слайд 10)
Німецькі математики Середньовіччя прагнули ввести єдине позначення і скоротити число символів. Книга Михеля Штіфеля «Повна арифметика» (1544 г.) зіграла в цьому значну роль. М.Штіфель (1487-1567 рр.) Дав визначення а 0 = 1 при і ввів назву показник (це буквений переклад з німецької Exponent). Німецьке potenzieren означає зведення в ступінь. (Слайд 11)
В кінці ХVI століття Франсуа Вієт ввів букви для позначення не тільки змінних, але і їх коефіцієнтів. Він застосовував скорочення: N, Q, C - для першої, другої і третьої ступенів. (Слайд 12)
Нідерландський математик СімонаСтевін (1548-1620) позначав невідому величину гуртком О, всередині якого вказував показники ступеня. Стевін запропонував називати ступеня за їх показниками - четвертої, п'ятої і т.д. і відкинув діофантови складові виразу «квадрато-квадрат», «квадрато-куб». Але сучасні позначення (типу а 4. а 5) в XVII в ввів Рене Декарт. Цікаво, що Декарт вважав, що а * а не займає більше місця, ніж А2 і не користувався цим позначенням при записі твору двох однакових множників. (Слайди 13, 14)
Сучасні визначення і позначення ступеня з нульовим, негативним і дробовим показником беруть початок від робіт англійських математиків Джона Валліса (1616-1703) і Ісаака Ньютона. Про доцільність запровадження нульового, негативних і дрібних показників і сучасних символів вперше докладно писав в 1665 р англійський математик Джон Валліс. Його справу завершив Ісаак Ньютон (1643-1727), який став систематично застосовувати нові символи, після чого вони увійшли в загальний ужиток.
Введення ступеня з раціональним показником є одним з багатьох прикладів узагальнення понять математичного дії. Ступінь з нульовим, негативним і дробовими показниками визначається таким чином, щоб до неї були застосовані ті ж правила дій, які мають місце для ступеня з натуральним показником, тобто щоб збереглися основні властивості початкового певного поняття ступеня.
Нове визначення ступеня з раціональним показником який суперечить старому визначенню ступеня з натуральним показником, то є сенс нового визначення ступеня з раціональним показником зберігається і для окремого випадку ступеня з натуральним показником. Цей принцип, якого дотримуються при узагальненні математичних понять, називається принципом перманентність (збереження сталості). У недосконалій формі його висловив 1830 року англійський математик Дж.Пікок, повністю і чітко його встановив німецький математик Г.Ганкель в 1867 (слайди 17, 18)
Робота над цією темою допомогла мені дізнатися нові історичні відомості з математики. Готуючись до конференції, я прочитала багато матеріалів на сайтах Інтернету. На уроках повторення я ознайомлю учнів свого класу з цими відомостями. Я втретє займаюся підготовкою повідомлень з історії математики, готую себе до старшій школі, щоб успішно брати участь в різних конференціях.
Юшкевич А. П. Історія математики в середні століття, М. 1961. Математичний енциклопедичний словник. М. Сов. енциклопедія, 1988