Очевидно, що, або
Перепишемо тепер формулу для скалярного множення з урахуванням введених позначень:
, і в індексному формі:
Дана формула для скалярного твори є спільною. Вона справедлива для довільної косокутній системи координат. У декартовій же системі матриця координат метричного тензора збігається з одиничною матрицею.
Справді, для декартової системи
, і, отже, і
Метричний тензор являє собою набір коефіцієнтів, прив'язаний до певної системи координат. Якщо ми переходимо до іншої системи, то в загальному випадку будемо мати і інші коефіцієнти метричного тензора, які прийнято називати координатами. Координати метричного тензора залежать від обраної координатної системи і безпосередньо виражаються через її базисні вектори. Проте метричний тензор, також як і вектор, відображає цілком певну геометричну реальність, оскільки його координати в різних координатних системах пов'язані відомим законом перетворення.
Знайдемо закон перетворення координат метричного тензора.
і є шуканий закон перетворення координат метричного тензора в індексному і в матричної формах. Ми обвели цей закон рамочкою, оскільки в тензорною алгебрі він грає принципову роль, а нам він зустрівся вперше. Надалі ми зможемо переконатися, що цей закон проявляється при вивченні найрізноманітніших об'єктів. Для початку слід звернути увагу на принципову схожість його з законом перетворення координат вектора:
Закон перетворення координат вектора