- Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
Формула повної ймовірності.
Нехай нам потрібно знайти ймовірність події А, яке відбувається разом з одним з попарно несумісних подій Н1. Н2. Нn. утворюють повну групу. Події Н1. Н2. Нn будемо називати гіпотезами. Маємо А = АН1 + АН2 +. + АНn. причому АН1. АН2. АНn попарно несумісні. Застосовуючи формули (2.3) і (2.6), отримаємо:
Це є формула повної ймовірності. З її допомогою вирішується широкий клас задач.
Приклад 48. Є 3 однакових коробки, що містять по 20 лампочок. У 1-й коробці з них 2 браковані лампочки, в другій - 4, у третій - 5. Навмання вибирається коробка, а з неї навмання одна лампочка. Яка ймовірність, що ця лампочка бракована?
Рішення. А: "Взято бракована лампочка". Виникають 3 ги-гіпотез:
Н1: "Обрана 1-я коробка",
Н2: "Обрана 2-я коробка",
Н3: "Обрана 3-тя коробка" .Оскільки всі коробки однакові,
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1 / 3. Знаходимо умовні ймовірності.
За формулою повної ймовірності
Відповідь: 0,18
Приклад 49. З повного набору кісток доміно залучена одна кістка. Знайти ймовірність того, що другу навмання витягнуту кістка можна приставити до першої згідно з правилами гри.
Рішення. А: "Другу кістка можна приставити до першої". Якщо перша кістка виявиться дублем, ймовірність події А буде менше, ніж якби вона була не дублем. Тому виникають дві гіпотези:
Н1: "Перша кістка-дубль",
Н2: "Перша кістка-ні дубль".
знаходимо:
Якщо перша кістка - дубль, то знайдуться 6 з 27 залишилися кісток, які можна приставити до першої, а якщо не дубль, то їх буде 12. Тому По формулі повної ймовірності
У тісному зв'язку з формулою повної ймовірності знаходиться формула Байеса. Вона відноситься до тієї ж ситуації, коли подія А настає тільки разом з однією з гіпотез і дозволяє оцінити ймовірність гіпотези після того, як подія А сталося.
Нехай проведений досвід і настало подія А. Ми не можемо з точністю сказати, яка з гіпотез здійснилася, проте можемо знайти ймовірність кожної з них. За формулою (2.6) P (AHi) = P (A) · P (Hi / A) = P (Hi) · P (A / Hi) Звідси
Це і є формула Байеса. Тут Р (А) знаходиться за формулою повної ймовірності, Hi (i = 1,2. N) - будь-яка з гіпотез, а Р (Нi / А) - ймовірність цієї гіпотези за умови, що відбулася подія А.
Приклад 50. У трьох однакових ящиках знаходяться 6 білих і 4 чорних, 7 білих і 3 чорних, 8 білих куль відповідно. З довільного ящика навмання вибирається один шар. Він виявився білим. Яка ймовірність, що ця куля виймуть з другого ящика?
Рішення. Нехай Н1, Н2, Н3 - три гіпотези, що обраний 1-й, 2-й, 3-й ящик. Потрібно знайти ймовірність другої гіпотези за умови, що подія А сталося, тобто P (H2 /A).По формулою Байеса
- Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі. Багатокутник розподілу ймовірностей. Найімовірніше число наступів події.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких з однієї і тієї ж ймовірністю p може з'явитися деяка подія А. Поставимо задачу: знайти ймовірність того, що в цих n випробуваннях подія А з'явиться рівно m раз. Позначимо А1 - поява події А в 1-м випробуванні, А2 - у 2-му випробуванні, і так далі. Не появу події А в 1-м випробуванні позначимо. у 2-му і т.д. Подія, що складається в появі події А m раз в n випробуваннях представиться у вигляді суми добутків виду
. Якщо позначити ймовірність непоявленія події А через q, то ймовірність кожного такого твору дорівнює, p m · q n-m, а всього їх буде штук. отримаємо:
Це - формула Бернуллі. Тут позначено: Pn (m) ймовірність появи події А m раз в n випробуваннях, р - ймовірність появи події А в одному випробуванні, q = 1 - p.
Приклад 51. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність п'яти влучень при шести пострілах.
Рішення. n = 6, m = 5, p = 0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2.
Відповідь: 0,39
Приклад 52. Ви граєте в шахи з рівним по силі партнером. Чого слід більше очікувати: 3 перемог в 4 партіях або 5 перемог у 8 партіях?
Рішення. р = 0,5; q = 0,5.
Число m0 називається найімовірніше число наступів події А в n випробуваннях і одно цілої частини числа (n + 1) p, а при цілому (n + 1) p найбільше значення досягається при двох числах: m1 = (n + 1) p-1 і m2 = (n + 1) p.
Якщо р ≠ 0 і р ≠ 1, то число m0 можна визначити з подвійного нерівності
завдання 3
Ймовірність влучення стрільцем в ціль дорівнює 0,7. Зроблено 25 пострілів. Визначити найімовірніше число влучень в ціль.
Рішення. Тут n = 25, p = 0,7, q = 0,3. отже,
Так як m - ціле число, то m0 = 18.
- Найпростіший потік випадкових подій і розподіл Пуассона.
- Поняття дискретної і безперервної випадкових величин. Способи завдання дискретної випадкової величини.
Потоком подій називається послідовність подій, що відбуваються один за іншим в якісь моменти часу. Прикладом потоку подій можуть служити послідовність моментів торкання злітної смуги літаками, прилітають в аеропорт.
Якщо потік подій стационарен, ординарний і без післядії, то такий потік називається найпростішим (пуассоновским) потоком.
Ця назва пов'язана з тим, що в цьому випадку число подій, що потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, розподілено за розподілом Пуассона.
Інтенсивність потоку λ - це середнє число подій в одиницю часу. Інтенсивність потоку можна розрахувати експериментально по формулі: λ = N / Tн, де N - число подій, що сталися за час спостереження Tн.
Для найпростішого потоку ймовірність появи m подій за час τ дорівнює:
Імовірність непоявленія (тобто жодного, m = 0) події за час τ дорівнює:
Асимптотична формула Пуассона виводиться з формули Бернуллі і після ряду перетворень виглядає наступним чином. де k - кількість разів, яке відбудеться рідкісна подія. λ = np
Формула Пуассона застосовується в ситуаціях, коли не потрібна висока точність розрахунків, а ймовірність події p не велика.
Якщо ймовірність p появи події Е в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність появи події Е в n випробуваннях рівно k раз наближено дорівнює значенню функції:
Створено спеціальні таблиці значень функції в залежності від величини t. t - стандартизоване значення.
Приклад. Знайти ймовірність того, що 80 з 1000 придбають чоловіче взуття, якщо ймовірність покупки взуття p = 0,11 (за даними з спостережень за попередній період).
Оскільки в функції використана парна ступінь t - функція позитивна, тобто .якщо х> 4, то = 0.
Таким чином, тільки в 404 випадках з 1 млн. Рівно 80 з 1000 відвідувачів набудуть чоловіче взуття.
Таким чином, в 242 випадках з 10000 рівно 120 з 1000 відвідувачів набудуть чоловіче взуття.
Локальна теорема Лапласа має важливе значення, проте її практичне значення обмежена. На практиці важливо знати ймовірність того, що подія Е відбудеться число разів, задане в певних межах.
Приклад. Можливість придбання покупцями чоловічого взуття від 80 до 120 чоловік з 1000.
. тобто, дорівнює сумі ймовірностей несумісних подій купівлю 1000 відвідувачів конкретного числа пар взуття в межах від 80 до 120 пар взуття.
Кожне з доданків визначається по локальній формулі Лапласа. Висока трудомісткість завдання очевидна, тому раціональним способом вирішення завдання є інтегрування локальної функції Лапласа.
Якщо ймовірність p появи подій Е в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1. то
Приклад. від 80 до 120
Таким чином, в 84 випадках з 100.
Випадковою величиною називається змінна величина, яка в результаті досвіду може приймати ту чи іншу числове значення.
Надалі ми розглянемо два типи випадкових величин - дискретні і безперервні.
Дискретної випадкової величиною називається така величина, число можливих значень якої або кінцеве, або нескінченне рахункове безліч, тобто безліч, елементи якого можуть бути пронумеровані.
Законом (або поруч) розподілу дискретної випадкової величини x називається таблиця, в якій перераховані всі можливі значення x1, x2, ..., xn цієї випадкової величини і відповідні їм ймовірності.